88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן

88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד

משפט קנטור על רציפות במ"ש

המשפט

תהי [math]\displaystyle{ f:K \to \mathbb{R}^m }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ K \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] קבוצה קומפקטית ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ K }[/math], אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)

הוכחה

נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-

[math]\displaystyle{ \exists \epsilon\gt 0 \forall \delta\gt 0 \exists x',x'' : ||x'-x''||\lt \delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon }[/math].

זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: [math]\displaystyle{ \delta_k=\frac1k }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ \delta_k }[/math] נסמן את [math]\displaystyle{ x',x'' }[/math] בהתאם: [math]\displaystyle{ x'_k,x''_k }[/math].

לכן לכל k מתקיים: [math]\displaystyle{ ||x'_k-x''_k||\lt \frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon\gt 0 }[/math]

כיוון שכל הנקודות [math]\displaystyle{ x'_k }[/math] ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ \left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0 }[/math] שמתכנסת לנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).

נשים לב ש- [math]\displaystyle{ x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0 }[/math]. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) }[/math] אך אם כך, [math]\displaystyle{ \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0 }[/math] בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- [math]\displaystyle{ |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon }[/math]. משל

היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות

צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)

משפט 1

תהי [math]\displaystyle{ f:\Omega\to\mathbb{R}^m }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \Omega \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ a \in \operatorname{int} \Omega }[/math] כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל [math]\displaystyle{ 1\leq j \leq n }[/math] קיימת נגזרת חלקית [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) }[/math] והיא שווה ל- [math]\displaystyle{ df_a (e_j) }[/math]

(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- [math]\displaystyle{ \partial_h f (a)=df_a (h) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \partial_h f(a) := \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t} }[/math] זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)

הוכחה 1

[math]\displaystyle{ f(a+h)=f(a)+df_a(h)+\epsilon(h)||h|| }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0 }[/math].

לכן,

[math]\displaystyle{ f(a+t\cdot e_j)-f(a)=df_a(t\cdot e_j)+\epsilon (t\cdot e_j)\cdot |t|\cdot ||e_j|| }[/math]

כיוון ש- [math]\displaystyle{ ||e_j||=1 }[/math] והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-

[math]\displaystyle{ \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t}=df_a(e_j)+\frac{|t|}{t}\epsilon(t\cdot e_j) }[/math]

נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:

[math]\displaystyle{ \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t} = df_a(e_j) }[/math] אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) }[/math] וקיבלנו את מה שרצינו.

משפט 2

תהי [math]\displaystyle{ f:\Omega\to\mathbb{R}^m }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \Omega \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ a \in \operatorname{int} \Omega }[/math] כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j) }[/math]

הוכחה 2

יהי [math]\displaystyle{ h\in \mathbb{R}^n }[/math] אז [math]\displaystyle{ h=(h_1,h_2,...,h_n)=h_1\vec{e_1}+...+h_n\vec{e_n}=\sum_{j=1}^n h_j\vec{e_j} }[/math]. מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,

[math]\displaystyle{ df_a(h)=h_1 df_a(e_1)+...+h_n df_a(e_n)=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+...+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\cdot h_j }[/math]

דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases} }[/math]

הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)

אך הנגזרות החלקיות קיימות:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0 }[/math]

ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y

מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f \in C^r(U) }[/math] כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ h \in \mathbb{R}^n }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ \varphi(t)=f(a+th) }[/math], אז מתקיים ש- [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] גזירה r פעמים ב-0.

לכן ניתן להגדיר: [math]\displaystyle{ d^rf_a(h):=\varphi^{(r)}(0) }[/math]

משפט

[math]\displaystyle{ d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha }[/math]

(הרצאה 12)

כך ש-

[math]\displaystyle{ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) }[/math] מולטי אינדקס

[math]\displaystyle{ |\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i| }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n! }[/math]

[math]\displaystyle{ h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n} }[/math]

[math]\displaystyle{ D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} } }[/math]

תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות

המשפט

תהי [math]\displaystyle{ f:\Omega \to \mathbb{R}^m }[/math] ותהי נקודה [math]\displaystyle{ a\in \operatorname{int} \Omega }[/math]

נניח ש-

1. עבור דלתא מספר קטן קיימות [math]\displaystyle{ \forall_{1\leq i \leq n}\forall x \in B(a,\delta):\frac{\partial f}{\partial x_i} (x) }[/math]

2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.

אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)

תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני

המשפט

תהי [math]\displaystyle{ f:U\to \mathbb{R} }[/math] כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ f\in C^2(U) }[/math].

תהי [math]\displaystyle{ a \in U }[/math] נק' קריטית של f (כלומר [math]\displaystyle{ \nabla f(a)=0 }[/math]) אזי:

1. אם [math]\displaystyle{ d^2f_a\gt 0 }[/math] אז a מינימום מקומית ממש

2. אם [math]\displaystyle{ d^2f_a\lt 0 }[/math] אז a מקסימום מקומית ממש

3. אם [math]\displaystyle{ d^2f_a }[/math] לא שומרת סימן אז a לא קיצון.

(הרצאה 15)

משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת

משפט

תהי [math]\displaystyle{ W \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} }[/math] קבוצה פתוחה ותהי [math]\displaystyle{ F:W\to \mathbb R }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F \in C^r (W) }[/math]

נתונה הנקודה [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כך ש-

1. [math]\displaystyle{ F(a,b)=0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y} (a,b)\neq 0 }[/math] (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)

אזי קיימות סביבות [math]\displaystyle{ a \in U , b \in V }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall_{x \in U} \exists!_{y \in V} : F(x,y)=0 }[/math].

כלומר קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ \varphi:U\to V }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F(x,\varphi(x))=0 }[/math]. בנוסף [math]\displaystyle{ \varphi \in C^r(U) }[/math]

(הרצאה 16)

קריטריון רימן לאינטגרביליות

משפט

תהי [math]\displaystyle{ f:P\to \mathbb{R} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \exists C \forall x \in P: ||f(x)||\leq C }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{R}(P) }[/math] (אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם

[math]\displaystyle{ \forall \epsilon\gt 0 \exists \mathcal{P} : 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P}) \lt \epsilon }[/math]

כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.

(הרצאה 21)

הוכחה

משמאל לימין:

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] אזי קיימת חלוקה [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})\lt \epsilon }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})\lt \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon }[/math] ומכאן ש- [math]\displaystyle{ \bar{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q) \lt \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon }[/math]

אז [math]\displaystyle{ \bar{I}(f)-\epsilon\lt \underline{S}(f,\mathcal{P})\leq \operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) = \underline{I}(f) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \overline{I}(f)-\underline{I}(f)\lt \epsilon }[/math] לכל אפסילון גדול מ-0. לכן [math]\displaystyle{ \overline{I}(f)-\underline{I}(f)=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \overline{I}(f)=\underline{I}(f) }[/math]. אז [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{R} (P) }[/math]

מימין לשמאל:

נניח [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{R} (P) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \overline{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q)=\operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) =\underline{I}(f)=I(f) }[/math]

יהי אפסילון גדול מ-0

אז

[math]\displaystyle{ \exists \mathcal Q : I(f)-\frac\epsilon2 \lt \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq I(f) }[/math]

[math]\displaystyle{ \exists \mathcal P : I(f)+\frac\epsilon2 \gt \bar S(f,\mathcal{P})\geq I(f) }[/math]

לכן קיימות חלוקות [math]\displaystyle{ \mathcal {P , Q} }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ I(f)-\frac\epsilon2 \lt \underline{S}(f,\mathcal{Q}) \leq \bar S(f,\mathcal{P}) \lt I(f)+\frac\epsilon2 }[/math]

נגדיר [math]\displaystyle{ \mathcal T := \mathcal P \cap \mathcal Q }[/math] (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה)

[math]\displaystyle{ I(f)-\frac\epsilon2 \lt \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq\underline{S}(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{P}) \lt I(f)+\frac\epsilon2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \bar S(f,\mathcal{T}) -\underline{S}(f,\mathcal{T}) \lt I(f)+\frac\epsilon2-(I(f)-\frac\epsilon2)=\epsilon }[/math]

משל