קוד:אריתמטיקה של גבולות של סדרות

יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.

\underline{משפט:} אם $ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : |b_n|<M $ אז $ \lim_{n\to \infty} a_n b_n = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-0 זו סדרה ששואפת ל-0)

\underline{הוכחה:} יהי $\epsilon>0 $ . כיוון ש- $a_n$ שואפת ל-0, לכל מרחק שיתנו לי קיים $N$ כך שלכל $n>N$, מרחק איברי $a_n$ מ-0 קטן מהמרחק ההתחלתי שנתנו לי, בפרט עבור המרחק $\frac{\epsilon}{M} $. מתקיים אז ש-

$\exists N \forall n>N : |a_n|<\frac{\epsilon}{M} \Rightarrow \exists N \forall n>N : |a_n| \cdot M <\epsilon $

אבל המרחק של $ a_n b_n $ מ-0 הוא $ |a_n b_n - 0| = |a_n b_n| = |a_n| \cdot |b_n| \leq |a_n| \cdot M $ וראינו בשורה הקודמת שקיים $ N $ כך שלכל $ n>N $ מתקיים ש- $ |a_n| \cdot M \leq \epsilon $ ולכן אם ניקח את אותו $ N $, לכל $ n>N $ יתקיים ש- $|a_n b_n| <\epsilon $, ומכאן, לפי הגדרת הגבול, $ a_n b_n $ שואפת ל-0. משל

דוגמה:

$ a_n = \frac{\sin(n!)}{n} $ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-0. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, $ \sin(n!) $ (תמיד מתקיים ש- $ |\sin(x)|\leq 1 $ ) וסדרה ששואפת ל-0, $ \frac{1}{n} $

$ \\ $ \underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ | |a|-|b| | \leq |a-b| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ |a_n| \to |L| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.

$\\$ \underline{משפט:} $ a_n \to L \Leftrightarrow a_n-L\to 0 $ .

$\\$ \underline{משפט:} אם 2 הסדרות שואפות ל-0 אז גם הסכום והמכפלה שלהן שואפות ל-0.

\underline{הוכחה:} כדי להוכיח שהמכפלה שואפת ל-0, פשוט נזכור שאחת הסדרות חסומה (כי מתכנסת) והשנייה שואפת ל-0 ולכן המכפלה שלהן שואפת ל-0. עבור סכום, צריך להוכיח ש- $ \forall\epsilon>0 \exists N\forall n>N:|a_n b_n-0|<\epsilon $ . יהי $\epsilon>0$, מהנתון ומהגדרת גבול אנו יודעים ש-

$ \exists N_1\forall n>N_1:|a_n-0|<\frac{\epsilon}{2} $

$ \exists N_2\forall n>N_2:|b_n -0|<\frac{\epsilon}{2} $

לכן אם נגדיר $N=max\{N_1,N_2\}$ יתקיים

$ \forall n>N:|a_n+b_n-0|=|a_n+b_n|\leq |a_n|+|b_n|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $

מצאנו $ N $ כנדרש. משל

$\\$ \underline{משפט: (אריתמטיקה של גבולות)} נניח ש- $ a_n \to a , b_n \to b $ (כאשר $a,b \in \mathbb{R} $ ) אזי:

1. $\lim_{n\to \infty} (a_n+b_n) = a+b $

2. $ \lim_{n\to \infty} (a_n b_n) = ab $

3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot a_n \to ca $

4. אם $ a>0 $ אז $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} $

\underline{הוכחה:}

1. נסמן $ x_n=a_n-a,y_n=b_n-b $ ועפ"י משפט, הם שואפים ל-0. מהמשפט הקודם, הסכום שלהם שואף ל-0: $ x_n+y_n=a_n-a+b_n-b=(a_n+b_n)-(a+b)\to 0 $ . לפי משפט, זה אומר ש- $ a_n+b_n\to a+b $

2. אם נסתכל על אותם $x_n,y_n$ אז מהמשפט הקודם, המכפלה שלהם שואפת ל-0.

$ a_n b_n = (x_n+a)(y_n+b)=x_n y_n + a\cdot y_n + b\cdot x_n + ab $

כל אחד מארבעת הרכיבים מתכנס: הראשון ל-0, השני והשלישי הם סדרות ששואפות ל-0 כפול מספר קבוע (שאפשר להתייחס אליו כאל סדרה חסומה) ולכן שואפות ל-0 והרביעי הוא סדרה קבועה ששואפת ל- $ab$. סך הכל, מהדבר האחרון שהוכחנו (סכום גבולות), $ a_n b_n \to ab $

3. נגדיר $\forall n: c_n=c$ ונראה ש- $c_n\to c$, ממשפטון 2 נקבל את הדרוש

4.יהי אפסילון גדול מ-0. נראה שמתקיימים הדברים הבאים:

$ \exists N_0 \forall n>N_0 : ||a_n| - |a||<|a| $ (לקחנו את הערך המוחלט של $a$ להיות האפסילון). לכן עבור $n>N_0$ מתקיים ש- $ |a|<2|a_n| $

$ |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a-a_n}{a_n a}|=\frac{|a-a_n|}{|a_n| |a| }\leq |a-a_n| \frac{2}{|a_n| |a|} $

עפ"י הגדרת הגבול

$ \exists N \forall n>N: |a_n-a|\leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} $

מכאן שלכל $ n>N $

$ |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|\leq |a_n-a| \frac{2}{|a_n| |a|} \leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} \frac{2}{|a_n| |a|}=\epsilon \frac{|a|}{2|a_n|}< \epsilon \frac{2|a_n|}{2|a_n|}=\epsilon $

משל