קוד:דמיון למטריצות סקלריות

\begin{remark}

אם $A\neq I$, אזי $A$ אינה דומה ל-$I$.

\end{remark}

\begin{proof}

נניח בשלילה ש-$A\sim I$. זאת אומרת שקיימת $P$ כך ש-$I=P^{-1}AP$. נכפול ב-$P$ משמאל, ונקבל $P=AP$. נכפול ב-$P^{-1}$ מימין, ונקבל $I=A$, בסתירה.

\end{proof}

המשמעות של ההערה הקודמת - המטריצה המייצגת היחידה של העתקת הזהות היא מטריצת היחידה. אכן, ניתן לוודא זאת בקלות גם באמצעות כלים של לינארית 1. כעת נכליל את הטענה:

\begin{remark}

אם $A$ איננה מטריצה סקלרית (זאת אומרת, $A\neq\alpha I$), אזי $A$ אינה דומה לאף מטריצה סקלרית.

\end{remark}

ההוכחה דומה לזו של ההערה הקודמת. נעיר שגם פה, כל מטריצה סקלרית היא מטריצה מייצגת של העתקת מתיחה / כיווץ, כלומר העתקת הזהות כפול סקלר כלשהו. גם במקרה זה ניתן לחשב ישירות את המטריצה המייצגת, ולגלות שהיא תמיד אותה סקלרית.