קוד:האיזומורפיזם מהמרחב למרחב הדואלי

\begin{remark}

ציינו שתי נוסחאות חשובות קודם, ובעזרתן נבנה איזומורפיזם מפורש $V\rightarrow V^*$. ניקח בסיס $B$ של $V$. נניח שנתון $v\in V$, כך שווקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס $B$ הוא $$\left[v\right]_B=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \varphi_1\left(v \right )\\ \vdots\\ \varphi_n\left(v \right ) \end{matrix} \right )$$ נשלח את $v$ ל-$\varphi$, כך שווקטור הקואורדינטות של $\varphi$ לפי $B^*$ זהה לווקטור הקואורדינטות של $v$ לפי $B$, ז"א $$\left[\varphi \right ]_{B^*}=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \varphi\left(v_1 \right )\\ \vdots\\ \varphi\left(v_n \right ) \end{matrix} \right )$$

אם כן, הקונסטרוקציה של האיזומורפיזם תלויה בבחירת הבסיס $B$; בחירות שונות של בסיסים יובילו לאיזומורפיזמים שונים.

\end{remark}