קוד:הגדרת ריבוי אלגברי וגיאומטרי

כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה זהה נכונה גם לגבי מטריצות, ולא נצטט אותה כאן:

\textbf{הגדרה:}

יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$. $\\$ \textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda)^k|p_T\left(x \right )$ )במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם $x-\lambda$(.$\\$ \textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית(.

\underline{הערה:}

לכל $\lambda\in\mathbb{F}$,

\begin{enumerate}

\item $1\leq k_\lambda\leq n$

\textit{הוכחה}

\begin{enumerate}

\item $1\leq k_\lambda$ כי $\lambda$ שורש של הפולינום האופייני.

\item $k_\lambda\leq n$ על פי השוואת דרגות.

\end{enumerate}

\end{enumerate}