קוד:הזהויות הפולריות
ננסה כעת לקחת נורמה על מרחב כלשהו $V$ (מעל הממשיים או מעל המרוכבים, כמובן), ולשחזר ממנו את המכפלה הפנימית.
יהיו $u,v\in V$. נתבונן בנורמה $\left \| u+v \right \|$: $$\left \| u+v \right \|^2=\left \langle u+v,u+v \right \rangle=\left \langle u,u \right \rangle+\left \langle u,v \right \rangle+\left \langle v,u \right \rangle+\left \langle v,v \right \rangle=$$ $$=\left \| u \right \|^2+\overline{\left \langle u,v \right \rangle}+\left \langle u,v \right \rangle+\left \| v \right \|^2=\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2+2\operatorname{Re}\left (\left \langle u,v \right \rangle \right )$$
\begin{corollary} זהות פולרית ממשית
אם $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, אזי לכל $u,v\in V$ מתקיים $\left \langle u,v \right \rangle=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )$.
\end{corollary}
כעת נוכל להניח $\mathbb{F}=\mathbb{C}$, ונמשיך. נוכיח למה קצרה, שתעזור להקל את החישובים.
\begin{lem}
$$\operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=\operatorname{Re}\left(\left \langle u,iv \right \rangle \right )$$
\end{lem}
\begin{proof}
על פי חצי-לינאריות, $\left \langle u,iv \right \rangle=\overline{i}\left \langle u,v \right \rangle=-i\left \langle u,v \right \rangle$.
אם $\left \langle u,v \right \rangle=x+iy$, אזי $\operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=y$. מתקיים $\left \langle u,iv \right \rangle=-i\left (x+iy \right )=y-ix$, ולכן גם $\operatorname{Re}\left(\left \langle u,iv \right \rangle \right )=y$.
\end{proof}
נשים לב כי $\left \| iv \right \|^2=\left \langle iv,iv \right \rangle=i\overline{i}\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2$, ולכן, על פי הזהויות שהוכחנו קודם, $$\operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=\frac{1}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )$$
\begin{corollary} זהות פולרית מרוכבת
אם $\mathbb{F}=\mathbb{C}$, אזי לכל $u,v\in V$ מתקיים $$\left \langle u,v \right \rangle=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )$$
\end{corollary}
\begin{corollary}
מכפלה פנימית ניתנת לשחזור החל מנורמה.
\end{corollary}