קוד:המכפלה הפנימית הסטנדרטית

\begin{example}

\textbf{המכפלה הפנימית הסטנדרטית} ב-$\mathbb{F}^n$, הינה המכפלה הפנימית המוגדרת באופן הבא: יהיו $v,w\in\mathbb{F}^n$, $v=\left(\begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )$, $w=\left(\begin{matrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_n \end{matrix} \right )$ . אזי נגדיר $$\left \langle v,w \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}$$

\end{example}

\begin{proof}

נוכיח שזו אכן מכפלה פנימית.

\begin{enumerate}

\item \underline{לינאריות ברכיב הראשון} - טריוויאלי לפי ההגדרה.

\item \underline{הרמיטיות} - לפי התכונה $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\;\overline{z_2}$.

\item \underline{אי-שליליות} -

\begin{enumerate}

\item לפי התכונה $z\overline{z}=\left | z \right |^2$, נקבל שמתקיים

$\left \langle v,v \right \rangle=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_i}=\sum_{i=1}^n\left|\alpha_i\right|^2\ge0$

\item לפי החישוב הנ"ל, ובצירוף $\alpha_i=0\Leftrightarrow\left|\alpha_i\right|=0$, מקבלים את הדרוש.

\end{enumerate} \end{enumerate}

\end{proof}