קוד:הפולינום המינימלי מחלק את האופייני

עד כה הגדרנו את הפולינום המינימלי של מטריצה, והוכחנו שהוא קיים ויחיד. נשאלת שאלה טבעית - האם יש קשר בין הפולינום האופייני לבין הפולינום המינימלי?

\begin{thm}

הפולינום המינימלי $m_A$ מחלק את הפולינום האופייני $p_A$.

\end{thm}

\begin{proof}

נשתמש בחילוק עם שארית: $$p_A\left(x \right )=q\left(x \right )\cdot m_A\left(x \right )+r\left(x \right )$$ אם נציב את המטריצה $A$, השוויון יישמר.

$p_A\left(A \right )=q\left(A \right )\cdot m_A\left(A \right )+r\left(A \right )$, מכאן $0=0+r\left(A \right )$, כלומר $r\left(A \right )=0$.

אם $r\neq 0$, אזי $\deg\left(r \right )< \deg\left(m_A \right )$, בסתירה להגדרת הפולינום המינימלי. לכן $r=0$, זאת אומרת $p_A=q\cdot m_A$, כדרוש.

\end{proof}

\begin{cor}

השורשים של $m_A$ הם ערכים עצמיים של $A$.

\end{cor}

בהמשך נראה שהכיוון ההפוך נכון גם הוא, ולסיכום - השורשים של הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים.