קוד:וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים של מטריצה נורמלית

לאור המשפט הקודם, נוכל להגיע למסקנה לגבי הקשר בין וקטורים עצמיים של מטריצה נורמלית הקשורים לערכים עצמיים שונים.

\begin{corollary}

אם $A$ מטריצה נורמלית, $\lambda,\mu$ ערכים עצמיים שונים של $A$, ו-$u,v$ וקטורים עצמיים של $A$ הקשורים ל-$\lambda,\mu$ בהתאמה, אזי $u\perp v$.

\end{corollary}

\begin{proof}

$$\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle\Rightarrow\left \langle \lambda u,v \right \rangle=\left \langle u,\overline{\mu} v \right \rangle\Rightarrow \lambda\left \langle u,v \right \rangle=\mu\left \langle u,v \right \rangle\underset{\lambda\neq\mu}{\Rightarrow}\left \langle u,v \right \rangle=0\Rightarrow u\perp v$$

\end{proof}