קוד:חלוקת פולינומים עם שארית

נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:

\textbf{משפט:}

יהיו $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ]$ פולינומים, $\deg\left ( f \right )\ge1$, $\deg\left ( g \right )\ge1$ )כזכור, $\deg$ = הדרגה של הפולינום(. אזי קיימים פולינומים $q\left ( x \right )$ )המנה( ו-$r\left ( x \right )$ )השארית( שעבורם:

\begin{enumerate}

\item $f\left ( x \right )=q\left ( x \right )g\left ( x \right )+r\left ( x \right )$.

\item $r\left ( x \right )=0$ או $\deg\left ( r \right )<\deg\left ( g \right )$.

\end{enumerate}

לא נוכיח את המשפט בקורס זה.

\underline{הערות:}

\begin{enumerate}

\item בתנאי השני, הסיבה למקרה המיוחד $r\left ( x \right )=0$ הוא ש-$\deg\left(0\right)$ איננו מוגדר.

\item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, אזי החלוקה הינה, למעשה, $f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )$.

\item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים )ולא רק של קבוצות הערכים שלהם(. בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים.

\end{enumerate}

\textbf{דוגמה:}

נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת $f\neq g$, אבל לכל $x\in\mathbb{F}$ מתקיים $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. עבור השדה $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$, הפולינומים $f\left(x\right)=x$ ו-$g\left(x\right)=x^2$ מקיימים את הדרישות האלו.

\textbf{דוגמה:}

נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$.