קוד:כל מטריצה סימטרית ממשית ניתנת ללכסון אורתוגונלי

\begin{thm}

תהי $A\in M_n\left(\mathbb{R}\right)$ מטריצה סימטרית (ז"א, $A=A^t$). אזי $A$ לכסינה אורתוגונלית, ז"א שקיימת מטריצה אורתוגונלית ממשית $P\in M_n\left(\mathbb{R}\right)$ כך ש-$P^{-1}AP=P^tAP=D$ מטריצה אלכסונית.

\end{thm}

\begin{proof}

ראשית, כל מטריצה סימטרית היא נורמלית.

$p_A\left(x\right)$ מתפרק לגורמים לינאריים מעל $\mathbb{C}$: $p_A\left(x \right )=\left(x-\lambda_1 \right )\dots\left(x-\lambda_n \right )$. אבל $A$ סימטרית ממשית, כלומר צמודה לעצמה, ולכן כל הערכים העצמיים שלה ממשיים. אם כן, הפירוק הנ"ל נכון גם מעל $\mathbb{R}$.

לכן, לפי משפט הלכסון האוניטרי מעל $\mathbb{F}$, המטריצה $A$ לכסינה אורתוגונלית.

\end{proof}