קוד:כלל לופיטל

נניח שאנו מחפשים את הגבול של $\lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} $ . אם אחת הפונקציות שואפת ל-0 או אחת הפונקציות שואפת לאינסוף אנו יודעים די בקלות למה הגבול הזה שווה, ואם 2 הפונקציות שואפות למספר שהוא לא 0 גם קל מאריתמטיקה פשוטה של גבולות למצוא את הגבול של המנה. אבל מה קורה במצב של $\frac{0}{0} $ או $\frac{\infty}{\infty} $ ? אנחנו בבעיה, ופה נכנס כלל לופיטל (L'hospital) שבכלל התגלה ע"י ברנולי.

\begin{thm} נניח $f,g $ גזירות בסביבה מנוקבת של $p $ והנגזרת של $g$ לא מתאפסת בסביבה מנוקבת זו. נניח גם ש- $\lim_{x\to p} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L $ קיים במובן הרחב (יכול להיות $\infty $ או $-\infty $ ).

אם אחד מהבאים מתקיים:

1. $\lim_{x\to p} f(x)=\lim_{x\to p} g(x)= 0 $

2. $\lim_{x\to p} g(x)=\infty $

אזי גם קיים הגבול של המנה והוא שווה ל- $L$ \end{thm}

צריך לשים לב שהדרישה שהגבול של מנת הנגזרות קיים הוא הכרחי. לדוגמה, אם ניקח את $f(x)=x+\sin x $ ו- $g(x)=x $ אז בקלות נראה ש- $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1 $ אבל $\lim_{x\to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to \infty} \frac{1+\cos x}{1} $ לא קיים!

\begin{proof}

\end{proof}