קוד:לכסון עוזר בהעלאה בחזקה

\begin{remark}

לכסון עוזר בהעלאה בחזקה של מטריצה. הסבר:

נניח ש-$A$ לכסינה ו-$k\in\mathbb{N}$. נניח ש-$P$ היא המטריצה המלכסנת של $A$, ונניח שהמטריצה $D=P^{-1}AP$ היא מטריצה אלכסונית. אזי: $$A^k=\left ( PDP^{-1} \right )^k=\underbrace{\left ( PDP^{-1} \right )\left ( PDP^{-1} \right )\cdots\left ( PDP^{-1} \right )}_{k\;\text{times}}=PD^kP^{-1}$$ לכאורה, לא נפטרנו מהבעיה; עדיין צריך להעלות מטריצה בחזקה גבוהה. אבל $D$ אלכסונית, נניח $$D=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )$$ אזי $$D^k=\left ( \begin{matrix} \alpha_1^k & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \alpha_n^k \end{matrix} \right )$$ וזה קל לחישוב!

\end{remark}