קוד:למת קנטור (חיתוך קטעים)

\begin{lem}[למת קנטור] נתונה סדרה של קטעים סגורים $[a_n,b_n]$ כך ש- $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n] $. אם מתקיים $|b_n-a_n|\to 0 $ אזי $\exists c : \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] = \{c\} $ \end{lem}

\begin{proof} נראה כי $\{a_n\}_{n=1}^\infty $ מונוטונית עולה בעוד ש- $\{b_n\}_{n=1}^\infty $ מונו' יורדת.\\ בנוסף, $a_n\leq b_1 , b_n\geq a_1 $ ולכן הסדרות האלה הן מונוטוניות וחסומות אז מתכנסות.\\ נגדיר $\sup a_n = a , \sup b_n = b $ ואז אנו יודעים ש- $ a_n\to a , b_n\to b $. אבל מאריתמטיקה של גבולות כיוון ש- $b_n-a_n\to 0 $ אז $b-a=0\Rightarrow b=a $ . נגדיר $c:=b=a$ ונוכיח ש- $ \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] = \{c\} $\\ \boxed{\supseteq} $$a_n\leq a =c=b \leq b_n \Rightarrow \forall n : c\in [a_n,b_n] \Rightarrow c\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]$$ \boxed{\subseteq} $$x\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] \Rightarrow \forall x : x\in [a_n,b_n] \Rightarrow \forall n a_n\leq x \land x\leq b_n$$ מהגדרת אינפימום וסופרימום נקבל ש- $$a\leq x \land x\leq b\Rightarrow a=x=b\Rightarrow x=c$$ \end{proof}