קוד:מטריצות מייצגות של אופרטורים מיוחדים

השם "אוניטרי" (ו"אורתוגונלי" מוכר לנו (גם "סימטרי") מתורת המטריצות, ולא סתם; אכן יש קשר בין המושגים. המשפט הבא יבטא את הקשר הזה.

\begin{thm}

אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור מאחד הסוגים הנ"ל (נורמלי, אוניטרי או צמוד לעצמו), ואם $B$ בסיס אורתונורמלי של $V$, אזי המטריצה המייצגת $A=\left[T\right]_B$ מקיימת את התכונה המתאימה, ז"א:

\begin{enumerate}

\item $AA^*=A^*A$ ($A$ נקראת \textbf{נורמלית}).

\item $AA^*=I$ ($A$ נקראת \textbf{אוניטרית}).

\item $A=A^*$ ($A$ נקראת \textbf{צמודה לעצמה}).

\end{enumerate}

בכיוון ההפוך, אם $A$ מטריצה המקיימת את אחת מהתכונות הנ"ל, אזי האופרטור הלינארי $T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n$ המוגדר על ידי הנוסחה $L_A\left(v\right)=Av$ מקיים את התכונה המתאימה.

\end{thm}

\begin{proof}

המטריצה המייצגת של $T^*$ יחסית לבסיס אורתונורמלי $B$ היא $A^*=\overline{A}^t$, ומזה נובע הכל.

\end{proof}