קוד:מטריצת מעבר בין בסיסים אורתונורמליים היא אוניטרית

נציג עוד קשר בין מטריצות אוניטריות לבין בסיסים אורתונורמליים.

\begin{thm}

מטריצת המעבר מבסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר היא מטריצה אוניטרית.

\end{thm}

\begin{proof}

כזכור, אם $B,B'$ שני בסיסים, אם $G,G'$ מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-$B,B'$ בהתאמה, ואם $C$ היא מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$B'$, אזי $G'=C^tG\overline{C}$.

נניח ש-$B,B'$ בסיסים אורתונורמלים, אזי $G=G'=I$. לכן מתקיים $I=C^tI\overline{C}$ $\Leftarrow$ $C^t\overline{C}=I$ $\Leftarrow$ $\overline{C}^tC=I$ $\Leftarrow$ $C^*C=I$ $\Leftarrow$ $C$ אוניטרית.

\end{proof}