קוד:ערכים עצמיים של מטריצה צמודה לעצמה

\begin{corollary}

תהי $A$ מטריצה צמודה לעצמה. אזי כל הערכים העצמיים של $A$ ממשיים.

\end{corollary}

\begin{proof}

$A^*=A$, ולכן $A$ נורמלית.

יהי $\lambda$ ערך עצמי של $A$, ויהי $v$ ו"ע של $A$ הקשור ל-$\lambda$. אזי $$\lambda v=Av=A^*v=\overline{\lambda}v$$ $v\neq 0$, ולכן $\lambda=\overline{\lambda}$, ומכאן $\lambda\in\mathbb{R}$.

\end{proof}

\begin{remark}

כל התכונות הקודמות מתקיימות לאופרטורים נורמליים או צמודים לעצמם, בהתאמה.

\end{remark}