קוד:ערכים עצמיים של מטריצות דומות

\begin{thm}

אם $A_{1},A_{2}$ מטריצות דומות אזי $\operatorname{spec}\left(A_{1}\right)=\operatorname{spec}\left(A_{2}\right)$.

\end{thm}

\begin{proof}

יהי $\lambda $ ע"ע של $A_{1}$ בה"כ, לכן לפי משפט $\det\left(\lambda I-A_{1}\right)=0$. $A_{1}\sim A_{2}$, לכן קיימת מטריצה $P$ הפיכה שעבורה $A_{2}=P^{-1}A_{1}P$. נשים לב כי $$\det\left(\lambda I-A_{2}\right)=\det\left(\lambda P^{-1}P-P^{-1}A_{1}P\right)=$$ $$=\det\left(P^{-1}\left(\lambda I-A_{1}\right)P\right) =\det\left(P^{-1}\right)\det\left(\lambda I-A_{1}\right)\det\left(P\right)=0$$ ולכן לפי משפט $\lambda $ ע"ע של $A_{2}$.

מכאן נגיע למסקנה כי $\operatorname{spec}\left(A_{1}\right)=\operatorname{spec}\left(A_{2}\right)$.

\end{proof}

במילים אחרות, אם שתי מטריצות הן דומות, יש להן אותם ערכים עצמיים (אך לא אותם וקטורים עצמיים בהכרח!). אם כן, נוכל להגיע למסקנה הבאה:

\begin{cor}

$\operatorname{spec}\left(T\right)=\operatorname{spec}\left(A\right)$ למטריצה מייצגת $A$ כלשהי.

\end{cor}

\begin{remark}

אם $A_1\sim A_2$, אזי $\det\left(A_1\right)=\det\left(A_2\right)$.

\end{remark}