קוד:קיום פולינום מאפס

\begin{thm}

לכל מטריצה $A\in M_k\left(\mathbb{F}\right)$ קיים פולינום מאפס.

\end{thm}

\begin{proof}

נתבונן במרחב הווקטורי $V=M_k\left(\mathbb{F} \right )$, $\dim V=k^2=\ell$. נתבונן בקבוצה של איברי $V$ הבאה: $\left\{ I,A,A^2,\dots,A^\ell \right \}$.

בקבוצה הזו יש $\ell+1$ איברים, אך המימד של $V$ הוא $\ell$, ומכאן שהיא תלויה לינארית. לכן, קיימים סקלרים $a_0,a_1,\dots,a_\ell\in\mathbb{F}$ (לא כולם שווים אפס), כך שמתקיים $$a_0I+a_1A+\cdots+a_\ell A^\ell=0$$

נגדיר פולינום $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$, $f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. עבורו $f\neq 0$ (כי לא כל הסקלרים הם אפס), וכן $f\left(A\right)=0$ (לפי הבנייה), כדרוש.

\end{proof}