קוד:שארית פיאנו של פולינום טיילור

\begin{thm} אם $f\in D^n (a,b) $ ו- $x_0\in (a,b) $ אזי

$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=o((x-x_0)^n),x\to x_0 $ \end{thm}

\begin{proof} הוכחה באינדוקציה. עבור $n=1 $ ראינו מהגדרת הנגזרת והדיפרנציאל ש- $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0),x\to x_0 $

כעת נניח שהטענה נכונה עבור $n-1$ כלשהו ונוכיח עבור $n$:

$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^n}=\{L'hospital\}=\lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)-\sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1}}{n(x-x_0)^{n-1}} =$$ $$\frac{1}{n} \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)-\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^{n-1}}= \frac{1}{n} \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)-\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f'^{k}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^{n-1}}$$

אבל $f' \in D^{n-1}(a,b) $ ולכן מקיימת את הנחת הנחת האינדוקציה ולפי הנחה זו הגבול שקיבלנו הוא $0$ . \end{proof}