קוד:שילוש אוניטרי של מטריצות

\begin{thm}

תהי $A$ מטריצה ריבועית. נניח ש-$p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי קיימת מטריצה אוניטרית $P$ כך ש-$P^{-1}AP$ מטריצה משולשת.

לעיתים מנסחים את המשפט ש-$P^*AP$ משולשת, אך זה אותו הדבר, כי עבור מטריצות אוניטריות $P^*=P^{-1}$.

\end{thm}

\begin{proof}

נתבונן באופרטור $T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n$, המוגדר על ידי $T\left(v\right)=Av$, כאשר $v\in\mathbb{F}^n$. לכן, אם $E$ הבסיס הסטנדרטי של $\mathbb{F}^n$, $A=\left[T\right]_E$.

תהי $\left \langle \;,\; \right \rangle$ המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-$\mathbb{F}^n$.

לפי המשפט הקודם, קיים בסיס אורתונורמלי $B$ של $\mathbb{F}^n$ כך ש-$\tilde{A}=\left[T\right]_B$ משולשת. נסמן ב-$P$ את מטריצת המעבר מ-$E$ ל-$B$. אזי $\tilde{A}=P^{-1}AP$ מטריצה משולשת, ו-$P$ אוניטרית כמטריצת מעבר מבסיס אורתונורמלי $E$ לבסיס אורתונורמלי $B$.

\end{proof}