קוד:שני מרחבי מכפלה פנימית מאותו מימד איזומורפיים

\begin{thm}

אם $\dim V=\dim V'$, אזי $V$ איזומורפי ל-$V'$ (במובן של איזומורפיזם של מרחבי מכפלה פנימית).

\end{thm}

\begin{proof}

נבחר בסיס אורתונורמלי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ של $V$ ובסיס אורתונורמלי $B'=\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \}$ של $V'$. לכל $i=1,\dots,n$ נגדיר $f\left(v_i\right)=v_i'$, ונרחיב את $f$ לפי לינאריות, כלומר נגדיר $$f\left(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right )=\alpha_1v_1'+\cdots+\alpha_nv_n'$$ $f$ העתקה לינארית, לפי ההגדרה.

$\operatorname{im}f=V'$ (כי לכל $i=1,\dots,n$, מתקיים $v_i\in\operatorname{im}f$), ולכן לפי משפט המימדים $\ker f=\left\{0\right\}$, כלומר $f$ היא איזומורפיזם.

אם $u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$, ואם $v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n$. לפי האורתונורמליות, מתקיים $$\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}=\left \langle u,v \right \rangle$$

ולכן $V\cong V'$.

\end{proof}