קוד:שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה

משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה

\begin{proof}

$\boxed{\Leftarrow}$

תהי סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ . יהי אפסילון גדול מ-0, לפי הגדרת הגבול של קושי, קיים $\delta>0 $ כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\epsilon $

$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\epsilon $.

$\boxed{\Rightarrow}$

נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ולכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים $ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|<\varepsilon $ ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $

\end{proof}