תשסד,סמסטר ב, מועד ב, שאלה 11
השאלה:
תהי [math]\displaystyle{ A \in M_n(C) }[/math] המטר' הבאה: [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math] . מצא את צורת הז'ורדן שלה.
מקור: [1]
פתרון: דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני
[math]\displaystyle{ P_A(x) = | xI-A | = \begin{vmatrix}
x & 0 & ... & 0 & -1\\
-1 & x & ... & 0 & 0\\
0 & -1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix}
}[/math]
נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה:
[math]\displaystyle{ x\begin{vmatrix}
x & 0 & ... & 0 & 0\\
-1 & x & ... & 0 & 0\\
0 & -1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix} + (-1)^{3} \cdot (-1) \begin{vmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & -1\\
-1 & x & ... & 0 & 0\\
0 & -1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix} }[/math]
כאשר שתי הדטרמיננטות הנ"ל הן של מטריצות מגודל [math]\displaystyle{ (n-1) \times (n-1) }[/math] ... הדטר' הראשונה היא של מטר' משולשית ושווה בדיוק [math]\displaystyle{ x^{n-1} }[/math] לדטר' השנייה נעשה פיתוח לפי השורה הראשונה:
[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & -1\\ -1 & x & ... & 0 & 0\\ 0 & -1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & x \end{vmatrix} = (-1)^{(n-1)+1} \cdot (-1) \begin{vmatrix} -1 & x & ... & 0 & 0\\ 0 & -1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & x \\ 0 & 0 & ... & 0 & -1 \end{vmatrix} }[/math]
ולמזלנו קיבלנו מטר' משולשית שבאלכסונה 1-, ולכן (מכיוון שהגודל שלה הוא n-2) הדטר' שלה הוא: [math]\displaystyle{ (-1)^{n-2} }[/math] עכשיו נציב את כל מה שחישבנו בחישוב של הדטר' המקורית:
[math]\displaystyle{ | xI-A | = x \cdot x^{n-1} + (-1)^{4} \cdot (-1)^{n} \cdot (-1) \cdot (-1)^{n-2} = x^{n} + (-1)^{2n + 3} = x^{n} - 1 }[/math]
וקיבלנו שהפולינום האופייני של A הוא [math]\displaystyle{ P_A(x) = x^{n}-1 }[/math] לפולינום זה אנחנו יודעים שיש n שורשים מרוכבים(ז"א n ע"ע של A), ומכיוון ש [math]\displaystyle{ deg P_A = n }[/math] הריבוי האלגברי של כל אחד מהע"ע הללו [שורשי היחידה] הוא 1, ומכיוון שכל הגורמים הלינאריים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי עם דרגה שקטנה מהדרגה בפולינום האופייני, הפולינום המינימלי של A זהה לפולינום האופייני שלה. כמו כן הריבוי הגיאומטרי של ע"ע, קטן מהריבוי האלגברי ולכן במקרה שלנו שווה ל 1.
בצורת ז'ורדן של מטר' הבלוק הגדול ביותר של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא החזקה של [math]\displaystyle{ x-\lambda }[/math] בפולינום המינימלי, ומספר הבלוקים שבאלכסונם [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שווה לריבוי הגיאמורי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
שני הערכים הנ"ל במקרה שלנו שווים ל 1, ולכן צורת ז'ורדן של A היא מטר' בלוקים-אלכסונית עם בלוקים מגודל 1 (כל בלוק פעם אחת בלבד), ז"א שעל האלכסון שלה מופיעים כל הע"ע של A בדיוק פעם אחת. [ז"א ש A לכסינה]
אם נהיה יותר ספיציפים: יהיו [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n }[/math] שורשי היחידה מסדר n, אז צורת ז'ורדן של A היא: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \alpha_2 & ... & 0\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & \alpha_n \end{pmatrix} }[/math] (כפי שלמדנו, סדר הבלוקים לא משנה)
הערה: החישוב שביצענו על מנת למצוא את הפולינום האופייני של A לא תקף עבור n=1,2 ולכן במקרים אלו צריך חישוב מיוחד שאכן נותן את הפולינומים [math]\displaystyle{ x-1,x^{2}-1 }[/math] בהתאמה, מה שמתאים להמשך הפתרון.