קוד:מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

\subsection{מציאת נקודות קיצון וקביעת תחומי עלייה וירידה}

ניזכר בהגדרה של נקודות מינימום ומקסימום:

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נקודה $x\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת מינימום (מקומי)} של $f$, אם קיימת ל-$x$ סביבה שבה הערך של $f$ ב-$x$ קטן (או שווה) משאר הנקודות בסביבה. נקודה $x\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת מקסימום (מקומי)} של $f$, אם קיימת ל-$x$ סביבה שבה הערך של $f$ ב-$x$ גדול (או שווה) משאר הנקודות בסביבה.

\end{definition}

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נאמר ש-$f$ \textbf{עולה} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$I$ מתקיים $f(x)>f(y)$. נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$I$ מתקיים $f(x)<f(y)$.

\end{definition}

כשמחפשים נקודות קיצון, אפשר להיעזר במשפט הבא:

\begin{thm}[למת פרמה]

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה, ונניח ש-\(x_0\in(a,b)\) נקודת קיצון מקומי (ז"א, מינימום מקומי או מקסימום מקומי). \textbf{אם} $f$ גזירה ב-$x_0$, אזי $f'(x_0)=0$.

\end{thm}

מהמשפט אנו לומדים כיצד לחפש נקודות קיצון: גוזרים את הפונקציה, ומחפשים את כל הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. הנקודות החשודות לקיצון הן הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת או אינה מוגדרת (אבל הפונקציה כן מוגדרת). אז עורכים טבלה, ומשלימים את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.