קוד:מציאת נקודות פיתול ותחומי קמירות וקעירות
\subsection{מציאת נקודות פיתול וקביעת תחומי קמירות וקעירות}
עכשיו רוצים להבין האם לפונקציה יש מצב רוח (ואז היא מחייכת) או שאין לה מצב רוח (ואז היא עצובה).
\begin{definition}
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה.
\begin{enumerate}
\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה}, אם היא מחייכת, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מעל גרף הפונקציה.
בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$
\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $>$ תמיד ולא רק $\leq$).
\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה}, אם היא עצובה, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.
בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\ge f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$
\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $<$ תמיד ולא רק $\ge$).
\end{definition}
במילים פשוטות, פונקציה היא קמורה אם היא נראית כמו קערה, והיא קעורה אם היא נראית כמו קערה הפוכה. #מתרגמים_בינוניים_וסבירים.
כדי לקבוע קמירות וקעירות של הפונקציה, נשתמש בשני המשפטים הבאים:
\begin{thm}
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה.
\begin{enumerate}
\item $f$ היא קמורה אם ורק אם $f'$ עולה.
\item $f$ היא קמורה ממש אם ורק אם $f'$ עולה ממש.
\item $f$ היא קעורה אם ורק אם $f'$ יורדת.
\item $f$ היא קעורה ממש אם ורק אם $f'$ יורדת ממש.
\end{thm}
\begin{thm}
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה פעמיים.
\begin{enumerate}
\item $f$ היא קמורה אם ורק אם $f$ אי-שלילית.
\item $f$ היא קמורה ממש אם ורק אם $f$ חיובית (ולא מתאפסת).
\item $f$ היא קעורה אם ורק אם $f$ אי-חיובית.
\item $f$ היא קעורה ממש אם ורק אם $f$ שלילית (ולא מתאפסת).
\end{thm}
כעת נתעניין בנקודות שבהן אנו עוברים בין התחומים.
\begin{definition}
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נקודה $x_0\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת פיתול}, אם מצד אחד שלה הפונקציה קעורה, ומהצד השני הפונקציה קמורה (לא משנה מאיזה צד; העיקר שיש החלפה בין הקעירות לקמירות).
\end{definition}
כדי למצוא נקודות פיתול, יש משפט בדומה לנקודות קיצון:
\begin{thm}
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה פעמיים, ותהי נקודה $x_0\in(a,b)$. אם $x_0$ נקודת פיתול, אזי $f(x_0)=0$.
\end{thm}
לסיכום, כדי למצוא נקודות פיתול גוזרים את הפונקציה פעמיים. הנקודות החשודות הן כל הנקודות שבהן הנגזרת השנייה מתאפסת או אינה מוגדרת (אבל $f$ כן מוגדרת). אז עורכים טבלה, ובודקים את תחומי הקמירות והקעירות.
\begin{remark}
במשפט שהיה קודם, לגבי קיצון עם נגזרות מסדר גבוה - אם $n$ זוגי, הנקודה היא נקודת פיתול.
\end{remark}