מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\} }[/math]

עם חיבור [math]\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) }[/math]

וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) }[/math] הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה [math]\displaystyle{ (V,\mathbb{F},+,\cdot) }[/math], כאשר

[math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר [math]\displaystyle{ +:V\times V \to V }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של [math]\displaystyle{ V }[/math] וכפל בסקלאר.
כפל בסקלאר ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ \cdot : \mathbb{F}\times V \to V }[/math]

אקסיומות מרחב וקטורי:

אקסיומות של החיבור ב [math]\displaystyle{ V }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ v,w,u\in V }[/math] מתקיים
1. מוגדרות: [math]\displaystyle{ v+w\in V }[/math] .
2. קיבוץ: [math]\displaystyle{ v+(u+w)=(v+u)+w }[/math] .
3. חילוף: [math]\displaystyle{ v+u=u+v }[/math] .
4. איבר נטרלי: [math]\displaystyle{ \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v }[/math] .
5. איבר נגדי: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 }[/math] .
אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
1. מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha v\in V }[/math]
2. קיבוץ: [math]\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v }[/math]
3. כפל ביחידה (של השדה): [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v }[/math]
4. פילוג:
  1. [math]\displaystyle{ \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v }[/math]

טרמינולוגיה: אומרים ש [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].

איברי [math]\displaystyle{ V }[/math] נקראים וקטורים. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 [math]\displaystyle{ (-1_{F})v=(-v) }[/math]

.2 [math]\displaystyle{ 0_{F}v=0_{V} }[/math]

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

עם חיבור [math]\displaystyle{ (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) }[/math]

וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n}) }[/math]

2. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Q} }[/math] עם חיבור וכפל "רגילים".

6. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{3} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math].

הערה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3} }[/math] הוא אינו מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math] (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי [math]\displaystyle{ i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 }[/math] והכפל בניהם צריך להיות שייך ל [math]\displaystyle{ V }[/math] אבל [math]\displaystyle{ i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3 }[/math]

תתי מרחבים

הגדרה יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תת קבוצה [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math]

הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק

לכל [math]\displaystyle{ w,u\in W }[/math] מתקיים
מוגדרות: [math]\displaystyle{ u+w\in W }[/math] .
איבר נטרלי: 0 של [math]\displaystyle{ V }[/math] נמצא ב-[math]\displaystyle{ W }[/math]
אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ w\in W,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
1. מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha w\in W }[/math]

את שאר האקסיומות [math]\displaystyle{ W }[/math] יורש מ [math]\displaystyle{ V }[/math] כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

[math]\displaystyle{ W\not=\emptyset }[/math]
שלכל [math]\displaystyle{ w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \alpha u+w\in W }[/math].

אבחנה: [math]\displaystyle{ \{0\},V\subseteq V }[/math] תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. המישור האוקלידי [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{2} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math]

א. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\} }[/math] (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי [math]\displaystyle{ -1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\} }[/math] (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי [math]\displaystyle{ \underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)|\, y=3x\} }[/math] קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:

2. תהא [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n }[/math].

טענה [math]\displaystyle{ W\leq \mathbb{F}^n }[/math] תת מרחב

הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר

ברור ש [math]\displaystyle{ W }[/math] לא ריקה כי [math]\displaystyle{ 0\in W }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות כי [math]\displaystyle{ \alpha v_1 +v_2 \in W }[/math]. לפי הגדרה צריך להראות כי [math]\displaystyle{ A(\alpha v_1 +v_2)=0 }[/math]. ואכן, [math]\displaystyle{ A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0 }[/math].

3. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] א. המטריצות מסוג [math]\displaystyle{ W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\} }[/math] הן תת מרחב.

נוכיח :

ברור כי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל [math]\displaystyle{ W }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות ש [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 \in W }[/math] כלומר להראות שהמטריצה [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 }[/math] כולה אפסים פרט (אולי) למקום [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של [math]\displaystyle{ A_1,A_2 }[/math]

ב. המטריצות הסימטריות [math]\displaystyle{ W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} }[/math] והמטריצות האנטי-סימטריות [math]\displaystyle{ W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\} }[/math] שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)

ברור כי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל [math]\displaystyle{ W }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות ש [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 \in W }[/math] כלומר להראות שהמטריצה [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 }[/math] סימטרית. נתון כי [math]\displaystyle{ A_1^t=A_1,A_2^t=A_2 }[/math]. כעת מחוקי שיחלוף

נקבל כי [math]\displaystyle{ (\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2 }[/math].

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות [math]\displaystyle{ W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\} }[/math] אינו תת מרחב כי המטריצות [math]\displaystyle{ A_1 = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) A_2= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) }[/math] שייכות ל [math]\displaystyle{ W }[/math] אבל החיבור שלהם לא.

.3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .

(a) W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי.

(b) W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W 0\notin W .

.4 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} .

(a) W=\mathbb{Q} הוא תת מרחב כי לכל v,w\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha v+w\in W .

.5 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} .

(a) W=\mathbb{Q} הוא אינו תת מרחב כי 1\in W,\,\sqrt{2}\in\mathbb{F} אבל 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin W