העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. ה"ל היא פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] אם

[math]\displaystyle{ \forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v) }[/math]

(או באופן שקול: אם לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2}) }[/math])

תכונות בסיסיות:

.1 [math]\displaystyle{ T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) }[/math]

.2 [math]\displaystyle{ T(0_{V})=0_{W} }[/math]

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m} }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תהא[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי העתקה [math]\displaystyle{ L_{A}:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto Av }[/math] היא ה"ל.

הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2}) }[/math]

2. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F} }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ trace:V\to W }[/math] המגודרת [math]\displaystyle{ A\mapsto tr(A) }[/math] היא ה"ל.

הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math]

[math]\displaystyle{ tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) }[/math]

3. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x] }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ D:V\to W }[/math] המגודרת [math]\displaystyle{ p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x) }[/math] היא ה"ל.

הוכחה:

[math]\displaystyle{ D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)] }[/math]