העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. ה"ל היא פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] אם

[math]\displaystyle{ \forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v) }[/math]

(או באופן שקול: אם לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2}) }[/math])

תכונות בסיסיות:

.1 [math]\displaystyle{ T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) }[/math]

.2 [math]\displaystyle{ T(0_{V})=0_{W} }[/math]

דוגמאות

1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m} }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תהא[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי העתקה [math]\displaystyle{ L_{A}:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto Av }[/math] היא ה"ל.

הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2}) }[/math]

2. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F} }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ trace:V\to W }[/math] המגודרת [math]\displaystyle{ A\mapsto tr(A) }[/math] היא ה"ל.

הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math]

[math]\displaystyle{ tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) }[/math]

3. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x] }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ D:V\to W }[/math] המגודרת [math]\displaystyle{ p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x) }[/math] היא ה"ל.

הוכחה:

[math]\displaystyle{ D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)] }[/math]

4. העתקת הזהות [math]\displaystyle{ I:V\to V }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto v }[/math] היא ה"ל.

5. העתקת האפס [math]\displaystyle{ 0:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto 0 }[/math] היא ה"ל.

6. יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto [v]_B }[/math] היא ה"ל.

דוגמאות נגדיות

1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{2}=W }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ f:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v }[/math] אינה ה"ל.

כי למשל

[math]\displaystyle{ f( 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix} }[/math]

שלא שווה ל

[math]\displaystyle{ 3 f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} }[/math]

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ T,S:V\to W }[/math] שתי ה"ל. [math]\displaystyle{ B=\{v_{1},\dots,v_{n}\} }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ V }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ T(v_{i})=S(v_{i}) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math]

הוכח: [math]\displaystyle{ T=S }[/math]. כלומר לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(v)=S(v) }[/math]

הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i} }[/math] כי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ובפרט פורשת. ואז

[math]\displaystyle{ T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v) }[/math]

משפט ההגדרה

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_{1},\dots,v_{n}\} }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ V }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ w_{1},\dots,w_{n}\in W }[/math] וקטורים כלשהם.

אזי קימת ה"ל יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ T(v_{i})=w_{i} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]

מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] מצא את הה"ל [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] המקימת [math]\displaystyle{ T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1 }[/math]. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן [math]\displaystyle{ T }[/math] שולחת פולינום כללי [math]\displaystyle{ a+bx+cx^{2} }[/math]

פתרון: [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x }[/math]