קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0

בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $.

\begin{thm} $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ \end{thm}

\begin{proof} זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים: $$\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $$ ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $ \end{proof}

האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.

\begin{cor} $ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $ \end{cor} \begin{proof} $$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac12 \left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \left ( \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} \right )^2=\frac{1}{2} $$ בהוכחה השתמשנו בזהות $ \cos(\alpha)=1-2\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) $ ובהצבה $t=\frac{x}{2}$ עם אריתמטיקה של גבולות. \end{proof}

שני הגבולות האלו הם גבולות חשובים שיהיו שימושיים מאוד בהמשך הקורס.