88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1

חזקות ושורשים

1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: [math]\displaystyle{ a^{n}=a\cdot a\cdots a }[/math], מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.

2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] להיות השורש ה-n-י של x: [math]\displaystyle{ y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} }[/math]

3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: [math]\displaystyle{ x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p} }[/math]

חוקי חזקות

• לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ 1^{x}=1 }[/math]
• לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ x^{0}=1 }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ 0^{0}=1 }[/math]
• לכל x שונה מאפס מתקיים [math]\displaystyle{ 0^{x}=0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ x^{q}x^{b}=x^{a+b} }[/math]
• [math]\displaystyle{ x^{-a}=\frac{1}{x^{a}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b} }[/math]

הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ y=a^{x} }[/math] כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.

תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ 2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0 }[/math]

פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:[math]\displaystyle{ \frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} }[/math] ולכן נסמן [math]\displaystyle{ t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} }[/math] נציב את t במשוואה ונקבל [math]\displaystyle{ 2t^{2}-7t+5=0 }[/math] עם הפתרונות [math]\displaystyle{ t=1,\frac{1}{2} }[/math], לכן עלינו לפתור שתי משוואות:

1) [math]\displaystyle{ 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 }[/math] נעשה מכנה משותף ונקבל [math]\displaystyle{ \left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 }[/math] נסמן ב-[math]\displaystyle{ s=2^{x} }[/math] ונקבל משוואה [math]\displaystyle{ s^{2}-s+1=0 }[/math] קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.

2) [math]\displaystyle{ 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} }[/math] שוב נעשה מכנה משותף ונקבל [math]\displaystyle{ 2s^{2}-5s+2=0 }[/math] לאחר שנציב [math]\displaystyle{ s=2^{x} }[/math], פתרונות למשוואה הזאת הם [math]\displaystyle{ s=2^{x} }[/math] ולכן פתרון כללי הוא [math]\displaystyle{ x_{1}=1 x_{2}=-1 }[/math]

הגדרת הלוגריתם

לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר [math]\displaystyle{ a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b }[/math].

תכונות

אם [math]\displaystyle{ log_{a}x=b }[/math] אזי: 1) [math]\displaystyle{ 1\neq a\gt 0 }[/math] 2) [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] 3) b מספר כלשהוא. 4) [math]\displaystyle{ a^{log_{a}x}=b }[/math]

הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ y=log_{a}x }[/math] כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math].