88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1

חזקות ושורשים

1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: [math]\displaystyle{ a^{n}=a\cdot a\cdots a }[/math], מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.

2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] להיות השורש ה-n-י של x: [math]\displaystyle{ y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} }[/math]

3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: [math]\displaystyle{ x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p} }[/math]

חוקי חזקות

• לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ 1^{x}=1 }[/math]
• לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ x^{0}=1 }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ 0^{0}=1 }[/math]
• לכל x שונה מאפס מתקיים [math]\displaystyle{ 0^{x}=0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ x^{q}x^{b}=x^{a+b} }[/math]
• [math]\displaystyle{ x^{-a}=\frac{1}{x^{a}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b} }[/math]

הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ y=a^{x} }[/math] כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.

תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ 2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0 }[/math]

פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:[math]\displaystyle{ \frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} }[/math] ולכן נסמן [math]\displaystyle{ t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} }[/math] נציב את t במשוואה ונקבל [math]\displaystyle{ 2t^{2}-7t+5=0 }[/math] עם הפתרונות [math]\displaystyle{ t=1,\frac{1}{2} }[/math], לכן עלינו לפתור שתי משוואות:

1) [math]\displaystyle{ 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 }[/math] נעשה מכנה משותף ונקבל [math]\displaystyle{ \left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 }[/math] נסמן ב-[math]\displaystyle{ s=2^{x} }[/math] ונקבל משוואה [math]\displaystyle{ s^{2}-s+1=0 }[/math] קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.

2) [math]\displaystyle{ 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} }[/math] שוב נעשה מכנה משותף ונקבל [math]\displaystyle{ 2s^{2}-5s+2=0 }[/math] לאחר שנציב [math]\displaystyle{ s=2^{x} }[/math], פתרונות למשוואה הזאת הם [math]\displaystyle{ s_{1}=2^{x}=2 }[/math] u> ו-[math]\displaystyle{ s_{2}=2^{x}=2^{-1} }[/math] ולכן ה-x-ים שמקיימים את המשוואה הם [math]\displaystyle{ x_{1}=1 x_{2}=-1 }[/math]

הגדרת הלוגריתם

לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר [math]\displaystyle{ a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b }[/math].

תכונות

אם [math]\displaystyle{ log_{a}x=b }[/math] אזי:

1) [math]\displaystyle{ 1\neq a\gt 0 }[/math]

2) [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]

3) b מספר כלשהוא.

4) [math]\displaystyle{ a^{log_{a}x}=b }[/math]

הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ y=log_{a}x }[/math] כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math].

חוקי לוגריתמים

1) [math]\displaystyle{ log_{a}\left(xy\right)=log_{a}x+log_{a}y }[/math]

2) [math]\displaystyle{ log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=log_{a}x-log_{a}y }[/math]

3) [math]\displaystyle{ log_{a}x^{n}=nlog_{a}x }[/math]

4) [math]\displaystyle{ log_{m}x=\frac{log_{a}x}{log_{a}m} }[/math]

5) [math]\displaystyle{ formula }[/math] וגם [math]\displaystyle{ log_{a}\left(a\right)=1 }[/math]

הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא [math]\displaystyle{ log_{e}x=lnx }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ e\approx2.51 }[/math]

תרגיל: פתרו את [math]\displaystyle{ e\approx2.51 }[/math] פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים [math]\displaystyle{ ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0 }[/math] ואז נקבל [math]\displaystyle{ ln\left(1-x^{2}\right)=0 }[/math] ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים [math]\displaystyle{ 1-x^{2}=1 }[/math] u> ולכן תושבה סופית היא היא x שווה אפס.

ערך מוחלט ואי שוויון

הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה: [math]\displaystyle{ \mid x\mid=\begin{cases} x & x\geq0\\ -x & x\leq0 \end{cases} }[/math]

מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות [math]\displaystyle{ \mid x-y\mid }[/math]

תכונות של ערך מוחלט

1) לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ \mid x\mid\geq0 }[/math]

2) [math]\displaystyle{ \mid x\mid=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

3) [math]\displaystyle{ \mid xy\mid=\mid x\mid y\mid }[/math]

4) [math]\displaystyle{ \left(\mid x\mid\right)^{2}=x^{2} }[/math]

5) [math]\displaystyle{ x\leq\mid x\mid }[/math]

6) אי שוויון המשולש: [math]\displaystyle{ \mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid }[/math]

7) נניח ש-L מספר אי שלילי אזי [math]\displaystyle{ \mid x\mid\leq L\Leftrightarrow-L\leq x\leq L }[/math]

תכונות של אי שוויונים

• [math]\displaystyle{ x\leq y\Leftrightarrow-x\geq-y }[/math]

• נניח ש-x,y אי שליליים אזי [math]\displaystyle{ x\leq y\Leftrightarrow x^{2}\leq y^{2} }[/math]

• נניח ש-x,y אי שליליים אזי [math]\displaystyle{ x\leq y\Leftrightarrow\frac{1}{x}\geq\frac{1}{y} }[/math]

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השוויון הבא: [math]\displaystyle{ \mid2x-1\mid\gt \mid x-1\mid }[/math]

פתרון: מקרה ראשון: [math]\displaystyle{ 2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-1\geq0\Rightarrow x\geq1 }[/math]

במקרה הזה נוריד את ערך מוחלט ונקבל [math]\displaystyle{ 2x-1\gt x-1\Rightarrow x\gt 0 }[/math], חיתוך בין שלושת התחומים הוא [math]\displaystyle{ x\geq1 }[/math] וזה פתרון במקרה 1.

מקרה 2: [math]\displaystyle{ 2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-1\lt 0\Rightarrow x\lt 1 }[/math] ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחלט נוסיף מינוס לפני [math]\displaystyle{ x-1 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ 2x-1\gt -(x-1)\Rightarrow x\gt \frac{2}{3} }[/math] ולכן חיתוך בין שלושת התחומים הוא [math]\displaystyle{ \frac{2}{3}\lt x\lt 1 }[/math]

מקרה 3: 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} וגם [math]\displaystyle{ x-1\lt 0\Rightarrow x\lt 1 }[/math] ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחט נוסיף מינוס לפני כל אחד משלושת הביטויים ונקבל: [math]\displaystyle{ -(2x-1)\gt -(x-1)\Rightarrow x\lt 0 }[/math]

ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: [math]\displaystyle{ x\geq1 }[/math] או [math]\displaystyle{ \frac{2}{3}\lt x\lt 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math]

אי שוויונים מעריכיים

בפתרון של אי שוויונים מעריכיים יש לשים לב לכללים הבאים:

1) כל הבסיסים המופיעים באי שוויון חייבים להיות חיוביים.

2) * אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי אם [math]\displaystyle{ x_{1}\lt x_{2} }[/math] אז [math]\displaystyle{ a^{x_{1}}\lt a^{x_{2}} }[/math] ולכן אי שוויון שבין החזקות זהה לאי שוויון שבין המעריכים.

• אם [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] אזי אם [math]\displaystyle{ x_{1}\lt x_{2} }[/math] אז [math]\displaystyle{ a^{x_{2}}\lt a^{x_{1}} }[/math] ולכן אי השוויון שבין החזקות הוא הפוך בכיוונו לאי השוויון שבין המעריכים.

תרגיל: פתור את אי השוויון: [math]\displaystyle{ \left(x-3\right)^{5x}\lt \left(x-3\right)^{x^{2}} }[/math]

פתרון: כאן x מופיע גם בחזקה וגם בבסיס ולכן נצטרך לחלק לשני מקרים:

מקרה 1: [math]\displaystyle{ x-3\geq1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x\geq4 }[/math] במקרה זה אי שוויון בין מעריכים הוא כמו אי שוויון בין החזקות ונקבל: [math]\displaystyle{ 5x\lt x^{2}\Rightarrow x^{2}-5x\gt 0\Rightarrow x\left(x-5\right)\gt 0 }[/math] פתרון ואי שוויון זה הוא [math]\displaystyle{ x\gt 5 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] ולכן חיתוך בין שני התחומים הוא [math]\displaystyle{ x\gt 5 }[/math]

מקרה 2: [math]\displaystyle{ 0\lt x-3\lt 1\Rightarrow3\lt x\lt 4 }[/math] ואז אי שוויון שבין המעריכים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין החזקות ולכן מתקיים [math]\displaystyle{ 5x\gt x^{2} }[/math] ותרון לאי שוויון זה הוא [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 5 }[/math] והפתרון המקרה זה יהיה חיתוך בין שני התחומים והוא [math]\displaystyle{ 3\lt x\lt 4 }[/math]

פתרון של אי שוויון יהיה איחוד בין שני המקרים: [math]\displaystyle{ x\gt 5 }[/math] או [math]\displaystyle{ 3\lt x\lt 4 }[/math]

אי שוויונים לוגריתמיים

בפתרון של אי שוויונים לוגריתמיים יש לשים לב לכללים הבאים:

1) כל הביטויים שבתוך הלוגריתמים חייבים להיות חיוביים.

2) * אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי אם [math]\displaystyle{ x_{1}\lt x_{2} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ log_{a}x_{1}\lt log_{a}x_{2} }[/math] ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הוא באותו כיוון של אי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.

• אם [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] אז אם [math]\displaystyle{ x_{1}\lt x_{2} }[/math] אז [math]\displaystyle{ log_{a}x_{2}\lt log_{a}x_{1} }[/math] ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.

• אם x מופיע גם בבסיס הלוגריתם צריך לזכור שהבסיס הוא חיובי ושונה מ-1.

תרגיל: פתור את אי שוויון [math]\displaystyle{ log_{x}\left(x+1\right)\lt 2 }[/math]

פתרון: קודם כל נסדר את הביטוי: [math]\displaystyle{ log_{x}\left(x+1\right)\lt 2\cdot1=2log_{x}x=log_{x}x^{2} }[/math] http://math-wiki.com/extensions/Math/images/button_math.png קודם כל נדאג שביטויים בתוך הלוגריתם יהיו חיוביים [math]\displaystyle{ x+1\gt 0\Rightarrow x\gt -1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x^{2}\neq0\Rightarrow x\gt 0\vee x\lt 0 }[/math] אבל יש לנו x בבסיס ואנחנו דורשים שהוא יהיה חיובי ולכן חיתוך בין שלושת התחומים נותן [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math].

נחלק למקרים, מקרה 1: [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x+2\lt x^{2} }[/math] פתרון לאי שוויון ריבועי זה הוא [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] אבל ראינו ש-[math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] ולכן החיתוך בין התחומים כאן הוא [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math].

מקרה 2: אם [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ x+2\gt x^{2} }[/math] פתרון של אי שוויון ריבועי זה הוא [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 2 }[/math], סה"כ פתרון נוא חיתוך של התחומים והוא שווה [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math].

פתרון של אי שוויון הוא איחוד של שני המקרים והוא שווה ל-[math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math]