שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעו - תיכוניסטים
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
שאלות להגשה ידנית מתרגיל בית 7
לא הצלחתי את תרגילי ההגשה ידנית, 1) מצא את המקום הגיאומטרי(עיגול,אליפסה,פרבולה,ישר,היפרבולה או מספר סופי של נקודות או תחום במישור) שעבורו הטור הבא מתכנס: ((n^(2*n)/((n+x)^(n+y)*(n+y)^(n+x אם x ו y בין אפס למינוס n אזי (a(n לא שואף לאפס וכמובן שהטור לא מתכנס אבל מה עם שאר המקרים? 2) הטור (a(n מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים c>0 כך שעבור כל סדרה (b(n שמקיימת : 1=>((abs(b(n ו 0=(lim b(n יתקיים שהסכום על (b(n)*a(n קטן שווה מ c
הכיוון מימין לשמאל טריוויאלי שהרי אם נבחר את c להיות סכום הטור בערך מוחלט אזי כל סדרה שקטנה שווה מ1 לכל איבריה, תקיים שהסכום על (b(n)*a(n קטן שווה מ c אבל מה עם הכיוון השני והמשך השאלה בתודה יאיר גלילי, אם אתם לא רואים טוב את הסדרה בסעיף 1, תלחצו למטה על תצוגה למכשירים ניידים וכך תראו יותר טוב
שלום. אתייחס לשתי השאלות 1) לא ברור למה קראת [math]\displaystyle{ a(n) }[/math]? האיבר הכללי של הטור? שים לב ש[math]\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R} }[/math] הם פרמטרים קבועים בשאלה (בעוד ש[math]\displaystyle{ n }[/math] הוא האינדקס של הסכימה והוא לא מספר קבוע). נסה לראות אם בהרצאה או בתרגול עשינו טור עם איבר דומה. אם תמצא, אתה יכול לראות איזה מבחן הפעלנו שם. 2) בנוגע לכיוון השני אני מציע שתתחיל מלהניח בשלילה שכיוון זה איננו נכון. נסה לראות כיצד אתה מקבל סתירה ביחס לנתוני השאלה. --ניר (שיחה) 17:42, 5 בדצמבר 2015 (UTC)
- תודה רבה, הצלחתי את שאלה 1
אבל לא הצלחתי את שאלה 2, האם ניתן להביא דוגמא בה הטור a יתבדר והסדרה b מתכנסת ל0 וחסומה אבל הסכום על ab מתבדר וכך לסתור את ההנחה בשלילה, או שזה רק מקרה פרטי וצריך להוכיח שבכל טור שכזה נגיע לסתירה, אם צריך להוכיח באופן כללי האם תוכל לתת רמז להפרכה??????????????????????????????????????? סימני השאלה באו להבליט לעין שהדיון עדיין לא הסתיים
בתודה יאיר גלילי
לדעתי, עלינו להראות שלכל טור שאינו מתכנס בהחלט קיימת סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] העונה על התנאים עבורה מתקבלת סתירה - [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n = \infty }[/math]. אני הייתי ממליץ, בתור כיוון, לבנות את הסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] כך שתוכל להיעזר בהגדרת השאיפה לאינסוף של הסס"ח של הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n }[/math] --Edan (שיחה) 10:20, 9 בדצמבר 2015 (UTC)
שאלה 3 סעיף א מבחן תשע"ג מועד א
נתון הטור [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n \cdot \frac{n+sin(n^2)}{n^2} }[/math] וצריך לבדוק האם מתכנס. הגעתי לזה שהוא לא מתכנס בהחלט, אך לא הצלחתי לבדוק האם מתכנס בתנאי או מתבדר.
שאלה להגשה בתרגיל 7
בשאלה אם המקום הגאומטרי רשמתם בטור שהטור מתחיל מ1 אבל יש ערכי x ו-y שנמצאים על המקום הגאומטרי אפילו שהאיבר הכללי של הסדרה שאותה סוכמים אינו מוגדר על n מסוימים האם אפשר לשנות את תנאי ההתחלה ל-n=m עד אינסוף מאשר n=1 כך שm הוא מספר טבעי גדול מספיק כך שכל אברי הטור מוגדרים?
תוקן. כעת [math]\displaystyle{ x,y\gt 0 }[/math] אז כל איברי הטור מוגדרים.--ניר (שיחה) 16:21, 7 בדצמבר 2015 (UTC)
מבחן ההשוואה (הרגיל/הגבולי)
מתי ניתן להשתמש במבחן ההשוואה (הרגיל/הגבולי) בטורים כלליים(שהם לא בהכרח חיוביים)?
לדעתי אפשר רק כשהטור חיובי/שלילי מאיזשהו אינדקס
מבחן ההשוואה הגבולי התקבל מהלמה שאם יש c,c'>0 ומתקיים ש:
c'<a[n]/b[n]<c
אז הטורים חברים...ברגע שאחד מהאיברים שלילי באיזשהו מקום ההנחה של הלמה לא תתקיים...
אז זה רק לטורים חיוביים
- אבל מבחן ההשוואה הרגיל שהוא לא הגבולי עובד גם לאיברים שלילים?
שאלה 2 סעיף ג' מבחן תשע"ה
נתון הטור [math]\displaystyle{ \sum{\frac{(-1)^n}{n-6sin(n)+5}} }[/math]. הצלחתי להוכיח כי הטור לא מתכנס בהחלט (מבחן ההשוואה), אך לא הצלחתי להוכיח כי הוא מתכנס בתנאי/מתבדר. האם מישהו יכול לעזור לי?
התכנסות בהחלט
ברור שלכל n מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+11}\lt =\frac{1}{n-6*sin(n)+5} }[/math]
מכיוון ש sin חסום ע"י 1 ו1- ולכן האי שוויון מתקיים. ניתן להוכיח בעזרת מבחן ההשוואה הגבולי ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+11} }[/math] מתבדר כמו [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]
את זה הצלחתי להוכיח... לא הצלחתי להוכיח עבור התכנסות בתנאי.
התכנסות בתנאי
הסדרה [math]\displaystyle{ {\frac{1}{n-6sin(n)+5}} }[/math] חיובית, ומונוטונית יורדת ל0 ולכן לפי משפט לייבניץ, הטור [math]\displaystyle{ \sum{\frac{(-1)^n}{n-6sin(n)+5}} }[/math] מתכנס.
את/ה יכול/ה להוכיח שהיא באמת מונוטונית? [math]\displaystyle{ sin(n) }[/math] יכול להיות גם שלילי וגם חיובי...
ב Math Wiki מוצע פתרון לשאלה זו בעזרת האי שיוויון הבא: [math]\displaystyle{ \frac{(-1)^{n}}{n+11} \le \frac{(-1)^{n}}{n-6sin(n)+5} \le \frac{(-1)^{n}}{n-1} }[/math] ומכיוון שגם שני הטורים [math]\displaystyle{ \sum \frac{(-1)^{n}}{n+11} , \sum \frac{(-1)^{n}}{n-1} }[/math] מתכנסים לפי לייבניץ, אז נקבל שהטור המבוקש מתכנס בתנאי. --Edan (שיחה) 10:49, 9 בדצמבר 2015 (UTC)
- אני לא חושב שההצעה האחרונה נכונה. אני לא מכיר טענה כזו. הבנתי שראיתם פתרון לפני הבוחן. בכל מקרה אני מוסיף הצעה להתחלה של פתרון באדיבותו של המתרגל אחיה בר-און. תכפילו את המונה והמכנה ב"צמוד" [math]\displaystyle{ n+6sin(n)+5 }[/math] נסו לפרק את האיבר הכללי של הטור שהתקבל לסכום של שני איברים. טור אחד יתכנס לפי לייבניץ (יתכן שתצטרכו לחקור פונקציה מתאימה כדי לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת ממקום מסוים וטור שני יתכנס לפי מבחן דיריכלה שימו לב שהטור [math]\displaystyle{ \sum(-1)^nsin(n)\ }[/math]חסום. --מני (שיחה) 18:42, 10 בפברואר 2016 (UTC)
- אני קצת לא קשור לקורס אבל: 1) מני עשה את כל החישובים (אני סך הכל זרקתי הערה קטנה..) 2) הטענה כי [math]\displaystyle{ \frac{(-1)^{n}}{n+11} \leq \frac{(-1)^{n}}{n-6sin(n)+5} }[/math] דורשת הסבר שהרי מתקיים באופן פשוט (עבור n מספיק גדול) כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+11} \le \frac{1}{n-6sin(n)+5} }[/math] ואם מוסיפים החלפת סימון [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] נראה שהיחס בין [math]\displaystyle{ \frac{(-1)^{n}}{n+11} , \frac{(-1)^{n}}{n-6sin(n)+5} }[/math] אמור להחלף בהתאם לסימן אחיה בר-און (שיחה)
התכנסות טור
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{n-ln(n)} }[/math]
הטור לא מתכנס בהחלט ע"פ מבחן ההשוואה ל[math]\displaystyle{ \frac{1 }{n} }[/math] בעזרת [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ln(n)} {n} }[/math] ששווה ל0 כיצד ניתן להוכיח שהאיבר הכללי של הטור מתכנס ל0?
הסדרה חיובית, אז נוכל לעשות את מבחן הסנדוויץ': [math]\displaystyle{ 0\le\frac{1}{n-ln(n)}\le\frac{1}{n} }[/math] ולכן הסדרה בערכים מוחלטים שואפת לאפס, והוכחנו שזה קורה אמ"מ הסדרה עצמה שואפת ל-0.
- זה נשמע רעיון טוב
אבל מה לעשות ש [math]\displaystyle{ \frac{1 }{n}\le\frac{1 }{n-ln(n) } }[/math]
ניתן להשוות זאת פשוט לטור אחר, כי בגלל ש- [math]\displaystyle{ \frac{n}{2}\gt ln(n) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge 1 }[/math] אז ניתן להשתמש בסנדוויץ'. נקבל: [math]\displaystyle{ 0\le\frac{1}{n-ln(n)}\le\frac{2}{n} }[/math] --Edan (שיחה) 09:51, 9 בדצמבר 2015 (UTC)
- אני לא יודע איך מוכיחים מונוטוניות בטורים כאלו, ניתן להוכיח כמו שלמדנו בתיכון באמצעות נגזרות ונקודות קיצון, אבל סביר להניח שזה לא מה שמצפים שנעשה
- טור דומה בו לא הצלחתי להראות מונוטוניות
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ln(n) }{n^{2} } }[/math]
תנסה להראות שהסדרה: [math]\displaystyle{ \frac{ln(n)}{n} }[/math] מונוטונית יורדת, ואז בגלל ש- [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] מונוטונית יורדת, גם המכפלה שלהן מונוטונית יורדת.
"שאלה כללית" בנוגע לגבולות של פונקציות בשיעורי בית
עד איזה רמה עליי להוכיח את הגבול של פונקציה בנקודה מסוימת בשיעורי הבית? לדוגמה, האם עליי להוכיח כי [math]\displaystyle{ sin(x) }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] שואף ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], או שטענה זו ברורה\לא ניתן להוכיחה בכלים שלנו?
תשובה: לא צריך להוכיח.--איתמר (שיחה) 18:51, 23 בדצמבר 2015 (UTC)
שיעורי בית 8 - שאלה פתוחה 2
לא הבנתי את משמעות הביטוי: [math]\displaystyle{ \lim_{y\to y_{0}} g(x)=L }[/math].
האם הכוונה ל-[math]\displaystyle{ \lim_{y\to y_{0}} g(y)=L }[/math]?
אם זו אינה הכוונה, אשמח להסבר...
תוקן.תודה.--ניר (שיחה) 03:59, 24 בדצמבר 2015 (UTC)
תקלה בתרגיל 8 שאלה 5
מחלק מסוים בשאלה ניתן לענות שטויות (לדוגמה לרשום 54564654564 או לרשום sin(x) באותו המלבן) והאתר מעביר את זה כאילו זה נכון מוסר לבדיקה
עריכה: ראית שתיקנתם תודה
תרגיל 8 שאלה 5
יש בעיה אם התשובה הבאה? נניח בשלילה שדווקא \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty
ונבחר M=1 אז קיים \delta>0 כך שלכל x המקיים 0<|x|<\delta מתקיים \frac{1}{x}>M אז נבחר -\delta<x<0 ואז באמת x בתחום המבוקש אבל \frac{1}{x}<0<1 בסתירה.
כי זה בדיוק מה שעשיתי אבל משום מה האתר לא מסכים (הוא לא מסכים לאף אחד)
תשובה: אין בעיה בתשובה שלך. יש טעות במערכת (האי שוויון בכיוון הלא נכון) אני כבר מטפל בזה.--איתמר (שיחה) 17:33, 26 בדצמבר 2015 (UTC)
תרגיל 9
היום יום שלישי כבר ואני לא מוצא את התרגיל השבועי במקומו הרגיל. קרה משהו?
- התרגיל יעלה עד הערב. ראו הודעה באתר.
שיעורי בית 10 שאלה 2 חלק 1
שלום לכולם,
לא הצלחתי להבין איך מצב כזה ייתכן בכלל וגם אם הוא ייתכן, איך בדיוק יוצרים אותו?
כמו כן, בהדרכה השתמשו ב - [math]\displaystyle{ \mathbb{R^{+}, R^{-}}, }[/math] ולא הבנתי למי מהם 0 שייך - לאחד מהם (אם כן לאיזה?), לשניהם או לאף אחד מהם? אשמח לקבל כיוון כלשהו
לה"כ [math]\displaystyle{ 0\in\mathbb{R}^- }[/math]. בהדרכה אמרנו שזה בסדר אם תקבלו חלק מהערכים 0 פעמים אך את כל היתר תקבלו מספר זוגי של פעמים (לדוגמה חלק תקבלו פעמיים, וחלק אלפיים פעמים). מאחר שכל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של שני אי זוגיים הצענו לכם לפצל את הגדרת הפונקציה לחצי המישור הימני ולחצי המישור השמאלי כך שעל כל אחד יתקבלו ערכים שמופיעים בשני חצאי המישור מספר אי זוגי של פעמים. חשבו על התשובה והתנסו במספר בניות. --ניר (שיחה) 02:21, 6 בינואר 2016 (UTC)
שאלה 10 שאלה2 להגשה סעיף ב
איך מסתכלים על המספר הבא (בבסיס ששלוש) 0.2 או 0.01111111111111111111111111111111..................... עריכה: הבנתי שאלו לא אותם מספר אבל 0.1 ו-0.022222222222222222222.............. כן קצת מעצבן אותי שהפונקציה לא מוגדרת היטב בגלל זה
אמת ויציב שהפיתוח הטרינרי איננו יחיד. אתם יכולים להניח שאנו לוקחים את הפיתוח המקסימלי (כלומר זה האינסופי מבין אלו שהצעת) עבור כל מספר שהצגתו בבסיס טרינרי איננה יחידה.--ניר (שיחה) 15:52, 9 בינואר 2016 (UTC)
שאלה 1 תרגיל 10 סעיף א'
האם בשאלה 1 סעיף א', אפשר להניח כי כל נק' בתחום הפונקציה היא נק' הצטברות? האם בכללי נוכל להניח בקורס שכל נק' היא נקודת הצטברות? אם לא, מתי נוכל ומתי לא? והאם נוכל להפריך טענות (בשאלות הוכח/הפרך לדוגמה) באמצעות נקודות הצטברות?
נענה על השאלות לפי סדרן: 1. בשאלה זו אתם רק נדרשים להראות את רציפותה של כל פונקצית ליפשיץ. אין צורך בהנחות על נקודות התחום.
2. נקודות הצטברות הן אובייקט עדין ויש להיזהר בטיפול בהן, קל וחומר בהנחות שלא תמיד נכונות בהקשרן. אינכם יכולים להניח כזה דבר כרגע. המונח של נקודת הצטברות יקבל גוונים חדשים בקורס הראשון בטופולוגיה קבוצתית. אם לא היינו עובדים מעל מרחבים "יפים" כמו [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] היינו צריכים לדבר במונחים קצת שונים.
3. בהתאם להקשר בלבד. לדוגמה: בנושא הרציפות, אם תראה שעבור נקודת הצטברות [math]\displaystyle{ x\in\text{Dom}(f) }[/math] כלשהי, כל תת סדרה [math]\displaystyle{ \text{Dom}(f)\ni x_n\to x }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ f(x_n)\to f(x) }[/math] אז זו הוכחה לרציפות בנקודה זו. --ניר (שיחה) 16:04, 9 בינואר 2016 (UTC)
שאלה 2 תרגיל 11 סעיף ב
סעיף זה מבקש ממני להראות שהנגזרת שחישבתי בסעיף א' בתחום (1,1-) אינה חסומה.
לדעתי, הנגזרת שקיבלתי היא אכן חסומה. האם יש טעות? אם יש צורך, אומר מהי הנגזרת.
בראש ובראשונה יש לבדוק אם גזרת נכונה (טעות חישוב כידוע לעולם חוזרת). לאחר מכן, שים לב שאתה נדרש לחסימות בכל נקודה בקטע. האם זהו המצב?--ניר (שיחה) 17:06, 13 בינואר 2016 (UTC)
קיבלתי שהנגזרת היא ----. להזכירכם, הפונקציה המקורית שאנו צריכים לגזור היא [math]\displaystyle{ (x^2)\cdot \sin(1/x) }[/math] עבור x שאינו אפס ובאפס ערכה הוא אפס.
בקטע הנתון כל מרכיבי הנגזרת: ---- הם חסומים ולכן הפונקציה חסומה ב - x שאינו אפס ובאפס היא מוגדרת ולכן גם חסומה. הרי, לפי ויקיפדיה ההגדרה של פונקציה חסומה היא ש:
[math]\displaystyle{ \exists M\in\mathbb{R},\forall x\in(-1,1) : |f(x)|\le M }[/math]
המנע ממתן רמזים שיתכן והם מטעים בעמוד שו"ת זה. לגופו של עניין, אני מציע שתבחן מחדש את החישוב של חסימות בכל נקודה. אולי יעזור לקחת גבול?--ניר (שיחה) 18:58, 13 בינואר 2016 (UTC)
להבנתי, חסימות היא תכונה של קטע ואינה קשורה ישירות לגבול, אלא לערך עצמו של הפונקציה בנקודות שעל הקטע. לכן, לא הבנתי מדוע בדיוק זה יעזור.
יש עניין כללי שצריך כאן לעמוד עליו והוא הקשר בין חסימות וגבול (בין אם של סדרה,פונקציות או בסמסטר הבא שילוב של שניהם). התבונן לדוגמה ב[math]\displaystyle{ h(x)=\tan(x) }[/math]. חשב את הגבול שלה ב-0. לאחר מכן בדוק מה זה אומר מהגדרת הגבול.--ניר (שיחה) 05:25, 14 בינואר 2016 (UTC)
אני ממש מתנצל אבל עשינו טעות הקלדה בשאלה הזאת. הכוונה הייתה לפונקציה
[math]\displaystyle{ x^2 \sin(\frac{1}{x^2}) }[/math]
תיקנתי את זה.--איתמר (שיחה) 15:41, 14 בינואר 2016 (UTC)
המבחנים באתר של בועז צבאן: מס' 7 שאלה 6 (סמסטר א 17.1.1984)
בשאלה זו נמצא הנתון [math]\displaystyle{ f(c^{-})\lt f(c^{+}) }[/math]. לא הבנתי מה משמעות נתון זה.
כמו כן, לא הצלחתי לקרוא מה עליי להוכיח בתרגיל זה. קישור למבחנים הוא כאן
זה סימון [math]\displaystyle{ f(a^+)=\lim_{x\to a^+} f(x),f(a^-)=\lim_{x\to a^-}f(x) }[/math]. אתה צריך להוכיח שהתמונה היא לא קטע יחיד.--ניר (שיחה) 18:10, 18 בינואר 2016 (UTC)
תודה על התשובה הזריזה, רק שאלה אחת נוספת - תמונה באיזה קטע? האם מדובר בקטע [a,b] כולו?
כן. עליך להראות כי [math]\displaystyle{ f([a,b]) }[/math] איננו קטע.--ניר (שיחה) 19:48, 18 בינואר 2016 (UTC)
שכחתי לציין פרט מאוד מעניין: התכונה של "תמונה של כל תת קטע של המקור היא תת קטע בתחום" נקראת לפעמים תכונת קושי. ניתן להעזר בתכונת קושי בצירוף עם תכונה נוספת עליה לא דיברנו בקורס (סגירות התמונה ההפוכה של כל נקודון) כדי להוכיח גרסה פרטית של משפט חשוב באנליזה בשם משפט הגרף הסגור, שאומר שפונקציה היא רציפה אם ורק אם הגרף שלה סגור ולא ניתן לחלק אותו לשתי תתי קבוצות סגורות לא טריוויאליות. --ניר (שיחה) 03:15, 19 בינואר 2016 (UTC)
שאלה ממבחן לדוגמה תשע"ב הורוביץ
הוכח/הפרך: אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת ובעלת נגזרת שנייה חסומה בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש ב[math]\displaystyle{ I }[/math]. האם אפשר לבחור את [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] ואת [math]\displaystyle{ I }[/math] להיות כל הממשיים? או שעליי לבחור קטע שלא מעורב בו אינסוף?
מצטער שאני עונה מאוחר. ניר, לא הבנתי מה כתבת. הדוגמא שהסטודנט הביא היא הפרכה טובה. גם כל הישר הממשי הוא קטע.--איתמר (שיחה) 08:25, 11 בפברואר 2016 (UTC)
מה שניר ציין (ומחק) זה שהטענה נכונה עבור קטע סופי ולהוכיח את זה יכול להיות תרגיל טוב לקראת המבחן.--איתמר (שיחה) 08:04, 14 בפברואר 2016 (UTC)
תיקון טעות משיעור חזרה
במבחן שפתרנו (תשע"ה מועד ב) בשאלה 5 ב הנחתי הנחה שלא קיימת ולא צריך אותה. ההנחה שהנחתי היא ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0+}f'(x) }[/math] קיים. כאמור אין צורך להניח זאת ומספיק להניח מה שרשום בשאלה- שהנגזרת הימנית באפס קיימת. נניח שהנגזרת האחרונה הזו שווה ל- [math]\displaystyle{ L }[/math] מזה ומכך ש [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0+}\frac{f(x)}{x}=L }[/math]. מכאן, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0+}f(x)ln(x)=\lim_{x\to 0+}\frac{f(x)}{x}\cdot \lim_{x\to 0+}xln(x)= L\cdot 0=0 }[/math]. השוויון [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0+}xln(x)= 0 }[/math] הוא לפי לופיטל. --מני (שיחה) 09:13, 11 בפברואר 2016 (UTC)
השלמה לשיעור חזרה
אני משלים כאן את השאלה שלא הצלחנו לסיים לפתור בשיעור חזרה.
השאלה הייתה האם הפונקציה
[math]\displaystyle{ x^4 \sin (\frac{1}{x^2}) }[/math]
רציפה במ"ש בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]
(אחרי שמתקנים את אי הרציפות הסליקרה ב [math]\displaystyle{ 0 }[/math].)
הפתרון שעשינו היה כמעט מלא והיה חסר רק שלב אחד בסוף.
זיהינו שזה בעצם
[math]\displaystyle{ x^2 \frac{\sin(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}} }[/math] ולפי זה ניחשנו שאין רציפות במ"ש. לצורך הפרכה השתמשנו באותן סדרות שמפריכות את [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]
נגדיר
[math]\displaystyle{ a_n=\sqrt{n+1},\quad b_n=\sqrt{n} }[/math]
כידוע [math]\displaystyle{ a_n-b_n }[/math] מתכנס ל [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (כפל בצמוד) עכשיו נראה ש [math]\displaystyle{ f(a_n)-f(b_n) }[/math] לא מתכנס ל [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
נציב ונחשב
[math]\displaystyle{ (n+1)\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-(n)\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}} }[/math]
[math]\displaystyle{ =n(\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}})+\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}} }[/math]
עכשיו נשים לב שהביטוי הימני מתכנס ל [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והביטוי השמאלי חיובי (את זה נוכיח עוד מעט) ולכן אין סיכוי שהנ"ל יתכנס ל [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
עכשיו נשאר להוכיח ש
[math]\displaystyle{ n(\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}) }[/math]
חיובי. כדי להוכיח את זה מספיק לוודא ש
[math]\displaystyle{ \frac{\sinx}{x} }[/math]
יורדת מימין ל [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
הנגזרת של הנ"ל היא
[math]\displaystyle{ \frac{\cos(x)x-\sin(x)}{x^2} }[/math]
צריך לוודא שהנגזרת שלילית (עבור [math]\displaystyle{ x }[/math] -ים גדולים מ0) כלומר ש
[math]\displaystyle{ \cos(x)x \lt \sin x }[/math]
כלומר
[math]\displaystyle{ x \lt \tan(x) }[/math]
את זה קל לוודא כי יש שוויון עבור [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
והנגזרות הן
[math]\displaystyle{ 1\lt \frac{1}{\cos^2(x)} }[/math]
וכך קיבלנו הדרוש. --איתמר (שיחה) 09:32, 15 בפברואר 2016 (UTC)