דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math] היא סקלר [math]\displaystyle{ det(A)=|A|\in F }[/math] המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 [math]\displaystyle{ A=(\alpha)\in F^{1\times 1} }[/math] היא הערך היחיד במטריצה [math]\displaystyle{ det(A)=\alpha }[/math].

הדטרמיננטה של מטריצה [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2} }[/math] היא [math]\displaystyle{ det(A)=ad-bc }[/math].

למשל: [math]\displaystyle{ det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 }[/math].

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math] נסמן ב [math]\displaystyle{ M_{ij} }[/math] את המטריצה מגודל [math]\displaystyle{ n-1 \times n-1 }[/math] המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] ע"י מחיקת השורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] והעמודה ה[math]\displaystyle{ j }[/math]. זה נקרא המינור ה[math]\displaystyle{ ij }[/math] של המטריצה.

דוגמא: עבור [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} }[/math]למשל [math]\displaystyle{ M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9} }[/math] [math]\displaystyle{ M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8} }[/math]

אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math]:

[math]\displaystyle{ |A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}| }[/math]

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה[math]\displaystyle{ j }[/math]:

[math]\displaystyle{ |A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}| }[/math]

לדוגמא: [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} }[/math]נפתח לפי השורה הראשונה: [math]\displaystyle{ |A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0 }[/math]

נפתח גם לפי העמודה השנייה: [math]\displaystyle{ |A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0 }[/math]

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות [math]\displaystyle{ |AB|=|A||B| }[/math].

2. בפרט [math]\displaystyle{ |A^k|=|A|^k }[/math].

3. [math]\displaystyle{ |A^t|=|A| }[/math].

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אז [math]\displaystyle{ |A^{-1}|=|A|^{-1} }[/math].

6. [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אם"ם [math]\displaystyle{ |A|\neq 0 }[/math].

למשל המטריצה [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} }[/math]איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין [math]\displaystyle{ |A+B| }[/math] לבין [math]\displaystyle{ |A|+|B| }[/math]. (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות [math]\displaystyle{ A,B\in F^{n \times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |A|=2, |B|=-1 }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ |(AB^{-1})^t(BA)^{-2}| }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ |(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2} }[/math]

תרגיל

תהי [math]\displaystyle{ B\in F^{3\times 3} }[/math] עם דטרמיננטה [math]\displaystyle{ |B|=-1 }[/math]. מצא את [math]\displaystyle{ |2B| }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1) }[/math]

בהכללה: [math]\displaystyle{ |\alpha A|=\alpha^n |A| }[/math].

שיטת הדירוג

טענה תהי [math]\displaystyle{ B }[/math]מטריצה המתקבלת ממטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם [math]\displaystyle{ B }[/math] התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |A|=\frac{1}{\alpha}|B| }[/math].

2. אם [math]\displaystyle{ B }[/math] התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי [math]\displaystyle{ |A|=-|B| }[/math].

3. אם [math]\displaystyle{ B }[/math] התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math].

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה, ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

דוגמא [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222 }[/math]

דוגמא

חשב את [math]\displaystyle{ |A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix} }[/math]

פתרון ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל [math]\displaystyle{ |A|== \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix} }[/math] נחלק את השורה הראשונה ב[math]\displaystyle{ a+n-1 }[/math] ונקבל: [math]\displaystyle{ |A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix} }[/math]

כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל [math]\displaystyle{ |A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1} }[/math]

המטריצה הנילוות (המצורפת)

הגדרה תהי [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math], המטריצה נילווית שלה היא המטריצה [math]\displaystyle{ adj(A)=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij} }[/math].

(שימו לב להחלפה בין [math]\displaystyle{ i }[/math] ו [math]\displaystyle{ j\lt /math !) דוגמא ==המשפט המרכזי== \lt math\gt A(adjA)=(adjA)A=|A|I }[/math]

תוצאה: אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אז [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{adjA}{|A|} }[/math].

תרגיל

תהי [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math] מטריצה. 1. הוכח כי [math]\displaystyle{ |adjA|=|A|^{n-1} }[/math]. 2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את [math]\displaystyle{ adj \left( adjA \right) }[/math].

פתרון

1. ראשית נניח כי [math]\displaystyle{ |A|\neq 0 }[/math], אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: [math]\displaystyle{ |AadjA|=||A|I| }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ |A||adjA|=|A|^n }[/math] נחלק בדטרמיננטה ואז [math]\displaystyle{ |adjA|=|A|^{n-1} }[/math] כדרוש.

כעת נניח [math]\displaystyle{ |A|=0 }[/math] וצריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ |adjA|=0 }[/math]. לפי המשפט [math]\displaystyle{ (adjA)A=|A|I=0 }[/math]

אם [math]\displaystyle{ A=0 }[/math] אז ברור ש [math]\displaystyle{ adjA=0 }[/math] לפי ההגדרה. אחרת, יש איזשהי עמודה של [math]\displaystyle{ A }[/math]שהיא לא אפס, [math]\displaystyle{ C_k(A) }[/math]. ואז [math]\displaystyle{ adjA\cdot C_k(A)=0 }[/math] מה שאומר ש[math]\displaystyle{ adjA }[/math] לא הפיכה ואז [math]\displaystyle{ |adjA|=0 }[/math].

2. נשתמש במשפט עבור המטריצה [math]\displaystyle{ B=adjA }[/math], אזי [math]\displaystyle{ (adjA)\cdot (adj(adjA)=|adjA|I }[/math]. ולפי הסעיף הקודם נקבל ש[math]\displaystyle{ adj(adjA)=adjA^{-1}|A|^{n-1} }[/math]. ומכיוון ו[math]\displaystyle{ adjA^{-1}=\frac{A}{|A|} }[/math] אז [math]\displaystyle{ adj(adjA)=A|A|^{n-2} }[/math].

תרגיל

תהי [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{Q}^{n\times n} }[/math] ונתון שהיא הפיכה ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n\times n} }[/math] (כלומר שיש מטריצה ממשית [math]\displaystyle{ B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ AB=BA=I }[/math]). הוכיחו כי היא הפיכה ב[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}^{n\times n} }[/math].

פתרון: מכיוון שמטריצה הפיכה היא יחידה, לא יתכן שב[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}^{n\times n} }[/math] יש מטריצה הופכית אחרת. כך שבעצם יש להראות ש[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] הממשית היא בעצם עם איברים ב[math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math].

לפי המשפט [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{adjA}{|A|} }[/math]. [math]\displaystyle{ |A|\in \mathbb{Q} }[/math] כי הדטרמיננטה זה סכומים של מכפלות של איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] שהם רציונליים. [math]\displaystyle{ adjA\in \mathbb{Q}^{n\times n} }[/math] כי האיברים הם [math]\displaystyle{ (-1)^{i+j}|M_{ji}| }[/math] שהם גם רציונלים (כמו קודם). סה"כ קיבלנו [math]\displaystyle{ A^{-1}\in \mathbb{Q}^{n\times n} }[/math].