סיווג נקודה חשודה
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־12:40, 4 בנובמבר 2016 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
הגדרת נקודה חשודה
תהי פונקציה ממשית. נקודה
בתחום ההגדרה של
נקראת חשודה אם
או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-
.
סיווג נקודות חשודות
משפט: תהי פונקציה הגזירה ברציפות
פעמים בסביבת הנקודה
. עוד נניח כי
אזי:
- אם
זוגי וגם
אזי
נקודת מינימום מקומי.
- אם
זוגי וגם
אזי
נקודת מקסימום מקומי.
- אם
אי-זוגי אזי
נקודת פיתול.
הוכחה:
לפי טיילור לכל בסביבה קיימת נקודה
בין
לבין
כך ש:
אבל לפי ההנחה כי הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-
, מתקיים
לכן, אם זוגי וגם
לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של
בה
ולכן לכל
בסביבה זו מתקיים:
שכן תמיד עבור
זוגי.
כלומר אם אזי
הנה נקודת מינימום.
באופן דומה, אם אזי
הנה נקודת מקסימום.
אם אי-זוגי, אזי הסימן של
חיובי בסביבה ימנית של
ושלילי משמאלה.
כיון שסימן קבוע בסביבה של
, סה"כ מצד אחד
ומהצד השני
.
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- ולכן המשיק הוא
, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן
הנה נקודת פיתול.