88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות

חזרה לסדרות

תתי-סדרות

תת-סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:

הגדרה. תהי סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים [math]\displaystyle{ n_k }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ n_1\lt n_2\lt n_3\lt \cdots }[/math]). אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] הנה תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] .

הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין [math]\displaystyle{ n_i }[/math] לבין [math]\displaystyle{ n_{i+1} }[/math] לכל i).

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ובסדרת המספרים הטבעיים [math]\displaystyle{ n_k=2k }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 }[/math] הנה תת-סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,\ldots }[/math] אזי תת-סדרה אחת שלה תהא [math]\displaystyle{ a_1,a_3,a_{15},a_{85},\ldots }[/math]

הגדרה. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי [math]\displaystyle{ L }[/math] נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k}\to L }[/math] .

משפט. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי [math]\displaystyle{ L }[/math] גבול חלקי שלה אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ N\in\N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math] .

במילים, קיימים אינסוף אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט. סדרה מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] .

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ K }[/math] וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ K }[/math] אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

משפט בולצאנו ויירשטראס. לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.

הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] . אזי כל תת סדרה שלה מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] .

הוכחה. לפי הגדרת הגבול, לכל [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)

תרגיל.

מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n(5-\frac{4}{2^n}) }[/math]

פתרון

נביט בתת הסדרה המורכבת מהאיברים הזוגיים [math]\displaystyle{ a_{2k}=(5-\frac{4}{2^{2k}}\to5-0=5 }[/math]

באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- [math]\displaystyle{ -5 }[/math] . האם חמש ומינוס חמש הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?

נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים או אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- [math]\displaystyle{ \pm5 }[/math] כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.

דוגמא.

לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:

[math]\displaystyle{ 1,1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots }[/math]

תרגיל.

מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.

פתרון

נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים [math]\displaystyle{ \Q }[/math] . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.

בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.