שאלות

בקשה חשובה ורצינית מאוד, לקבוצה של התיכוניסטים

בשיעור האחרון שהיה ביום שלישי, שבו היינו כולם בחדר אחד, לא היה אפשר ללמוד ברצינות. המתרגל (ואני מבין אותו, אני לא הייתי מצליח לעשות יותר טוב) נאלץ רק לכתוב על הלוח בלי להסביר אפילו קצת, וביחד עם כל הרעש יצא שאני, וגם כל הכיתה כנראה, לא הבנו כלום, שום דבר, מהתרגול האחרון. האם אפשר לעשות תרגול נוסף (תגבור) על הנושא שהיינו אמורים ללמוד בתרגול האחרון? אם תרגול נוסף הוא לא אופציה, אז לפחות, אם אפשר, בתרגול הבא לחזור שוב על החומר של התרגול האחרון במקום להתקדם בחומר? תודה רבה!

מסכים. התרגול האחרון היה עמוס, עקף בהרבה את החומר של ההרצאה, לא יצא לנו לשאול שאלות ולא הצלחנו להבין את התרגילים וההוכחות השונות. נשמח לתרגול תגבור (אפשר, מכיוון שאנו עמוסים, גם לא ביום שאנחנו באינברסיטה בו) או להבהרה אלקטרונית כאן.

עדי:באיזה יום אתם פנויים לתגבור שכזה?

לדעתי הכי טוב ביום חמישי.

מסכים, גם לי הכי טוב ביום חמישי. אני ספיצית לא יכול בחמישי הבא, כך שחמישי בעוד שבועיים יהיה מעולה, אבל כמובן שאני לא מצפה מכם להתחשב בשיקולים אישיים שלי... ובכל זאת, אם אפשר אז אז זה יהיה מעולה...

עדי: גם לי נוח בחמישי,(עוד שבועיים לא רלוונטי). אני אדאג לזה כך שנלמד בשלישי את השעור האחרון ובחמישי נתקדם. החל מאיזו שעה אפשרי בחמישי?

לדעתי עדיף בערך משעה 5 ככה.

שאלות על ערכים עצמיים

1) אפשר הסבר לכל הדרכים/ אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה? 2) רשום אצלי "תכונה" מהתרגול: ע"ע של משולשית עליונה הם איברי האלכסון שלה. האם גם מטריצה שניתן לדרג אותה למשולשית עליונה- הע"ע שלה הם איברי האלכסון? 3) כשכתוב (מהתרגול) מצא ע"ע "בעזרת דטרמיננטה", למה מתכוונים? 4) מהם המרחבים העצמיים של מטריצה? תודה!

עדי: ראה הודעות בדף הבית

אפשר עזרה בקצרה בכל מקרה?

השאלה שלי חשובה, כי שאלות בתרגיל, למשל 1.9 עם מטריצת מרקוב, שהן ממש בלתי אפשריות אם ניגשים אליהם בצורה ה"רגילה" (ומנסים להוכיח ע"פ ההגדרות), וכנראה שיש דרכים יותר קלות לפתור אותן. (ואני רוצה לעשות חלק משיעורי הבית עכשיו כי אין מספיק זמן לעשות את כל התרגיל מיום שלישי עד יום חמישי). תודה רבה!

תשובות-עדי: 1. ע"ע של מט' A מוגדר להיות סקלר k עבורו קיים וקטור שונה מאפס V כך ש AV=kV. שיטה למציאת ע"ע: הם שורשי הפולינום האופייני המוגדר להיות: [math]\displaystyle{ det(kA-I) }[/math] שיטה למציאת ו"ע: ו"ע V המתאים לע"ע k הוא וקטור המקיים: [math]\displaystyle{ (A-kI)V=0 }[/math]

2. לא, כי עבור ע"ע אתה עושה דט' ל [math]\displaystyle{ (A-kI) }[/math] ולא ל A לכן דירוג A לא יעזור לך פה

3.לנוסחא המשתמשת בפולינום האופייני. ניתן לחשב גם בלי זה ישירות לפי ההגדרה.

4.מרחב עצמי המתאים לע"ע k הוא המרחב הנפרש ע"י הו"ע המתאים/מתאימים ל k.

1.9. נסה להבין מכפלה של המט' באיזה וקטור תיתן לך סכום של כל עמודה במטריצה והשתמש בנתון על עמודות אלו.

תשובות חלקיות

אני לא מתרגל ולכן אענה לך רק על השאלות שאני יכול לענות לך בוודאות:

1. לפי מה שידוע לי ישנן שתי דרכים למציאת ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]:

1.1 עפ"י הגדרה: [math]\displaystyle{ x }[/math] שהוא סקלר כלשהו יהיה ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא מקיים [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math] עבור v כלשהו. זוהי דרך הצבתית ארוכה (ואפילו אינסופית), ולכן לדעתי יש להתמש בה רק עבור הוכחת נכונות של ע"ע מסוים.

1.2 עפ"י פולינום אופייני: [math]\displaystyle{ x }[/math] שהוא סקלר כלשהו יהיה ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא מקיים [math]\displaystyle{ det(xI-A)=0 }[/math].

ישנה דרך שלישית שנובעת מערכים עצמיים של פונקציות והיא:

1.3 [math]\displaystyle{ x }[/math] שהוא סקלר כלשהו יהיה ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא ע"ע של ה"ל שאחת ממטריצות הייצוג שלה היא אותה [math]\displaystyle{ A }[/math] (לגבי סעיף זה אינני בטוח, תקנו אותי אם אני טועה).

עדי:זו בדיוק אותה הגדרה שרשמת קודם במעבר ממטריצה לה"ל המתאימה לה

לחישוב ו"ע נסתמך על:

1.1.1 הצבת הערך העצמי שהתקבל לתוך ההגדרה ב-1.1 ופתרון מערכת משוואות לינארית.

1.3.1 [math]\displaystyle{ v }[/math] יהיה ו"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם הוא ו"ע של ה"ל שאחת ממטריצות הייצוג שלה היא אותה [math]\displaystyle{ A }[/math] (שוב אינני בטוח לגבי סעיף זה, אנא תקנו אותי אם אני טועה).

עדי: לא, הו"ע לא נשארים זהים

2. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים בשאלה זו.

3. ראה סעיף 1.2.

4. עפ"י הגדרה: המרחב העצמי של ע"ע [math]\displaystyle{ x }[/math] מסוים המוגדר ע"י: [math]\displaystyle{ V_x=\{x|Av=xv\} }[/math] עבור מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] או [math]\displaystyle{ V_x=\{x|Tv=xv\} }[/math] עבור ה"ל [math]\displaystyle{ T }[/math].

מקווה שעזרתי! גל א.

לגבי 2- אין קשר בין דירוג מטריצה לבין ערכים עצמיים, בוודאי איברי האלכסון לפני הדירוג לא קשורים לע"ע בהכרח. דוגמא פשוטה: בדקו את הע"ע של המטריצות הבאות [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} }[/math] (והרי המטריצות הן דירוג אחת של השנייה). --ארז שיינר 23:49, 29 באוקטובר 2010 (IST)

תודה. האם מה שרשמתי ב-1.3 וב-1.3.1 אכן נכון? תודה, גל א.

1.3 כן, זה נובע מלינאריות של ההעתקה מהמרחב הוקטורי למרחב הקואורדינטות, אבל 1.3.1 אינו נכון. הרי הוקטור העצמי של המטריצה המייצגת הוא סה"כ וקטור קואורדינטות. הוא יכול להיות מאד שונה מהוקטור האמיתי. דוגמא: [math]\displaystyle{ T(a,b)=(a+b,b) }[/math]. וקטור עצמי של ההעתקה הוא [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]. אבל תחת הבסיס [math]\displaystyle{ \{(1,1),(0,1)\} }[/math] המטריצה המייצגת הינה [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & 0 \\ -1 & 1\end{bmatrix} }[/math] וקטור עצמי שלה הינו [math]\displaystyle{ (1,-1) }[/math] (זה הקואורדינטות של הוקטור העצמי של ההעתקה תחת הבסיס הזה) אבל זה לא וקטור עצמי של ההעתקה כי [math]\displaystyle{ T(1,-1)=(0,-1) }[/math] --ארז שיינר 00:18, 30 באוקטובר 2010 (IST)

תרגיל 3 - שאלה 3

האם אתם רוצים שנכתוב את התשובות לפי z או לפי a+bi (בהנחה שמסמנים z=a+bi)?

מצטרף לשאלה, ואם אפשר בבקשה תשובה לפני יום ראשון...

אני כתבתי לפי z, בעיקר משום שבסעיף ב ביקשו לפי z (הרי ביקשו לאילו ערכי z). לדעתי בסעיפים א ו-ג אין צורך לפתור את זה, אבל בסעיף ב (לפחות בדרך בה אני עשיתי) אין מנוס מלפתוח את זה, ואז אני כתבתי z=a+bi ובסוף החזרתי ל-z ככל הניתן. גל א.

יש סיכוי שבשאלה 1.7 יש טעות? או שיש לי טעות?

החומר שקשור לערכים עצמיים אצלי ממש לא מסודר, אז יכול להיות שיש לי טעות, אבל כשחיפשתי בכל זאת חומר מהתרגול, מצאתי שניתן למצוא ע"עים ע"י המשוואה הפולינום האופייני=0. כשהצבתי את המטריצה A הנתונה פחות למדה I, יוצא, כשמחשבים את הדט' של הנ"ל שווה 0, שלמדה שווה 1, כלומר שיש למטריצה ערך עצמי. איפה הטעות? תודה!

עדי: הטעות כנראה בחישוב שלך לפולינום. אל תשכח שיש מינוס בין למדהI לבין A וגם בחישוב של הדטרמיננטה בין האלכסון הראשי למישני.

יש לך טעות. תנסה להציב למדא = 1 ותקבל שהדטרמיננטה היא 1 ולא אפס, ולכן גם עבור למדא הזה הוא לא ערך עצמי. אני כבר יכול לומר לך שהצלחתי להסביר מדוע למטריתה הנתונה אין ערכים עצמיים, דבר המחזק את העובדה שיש לך טעות. בברכה, גל א.

אבל איפה הטעות? הרי למדנו שהע"עים מאפסים את הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ det(A-gI) }[/math]. אני מחשב ויוצא לי g=1, כלומר יש ערך עצמי והוא 1. אז איפה הטעות?

בוא נקח את המטריצה [math]\displaystyle{ A-I=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} }[/math], הדטרמיננטה שלה הוא 1 (עפ"י נוסחה) וזה כמובן סותר את ההתאפסות של הפולינום האופייני שכביכול התקבלה על ידך. גל א.

אז למה קיבלתי את זה? [math]\displaystyle{ det(\begin{bmatrix}1-x & -1-x \\ 1-x & 1-x\end{bmatrix}) = (1-x)^2-(1-x)(-1-x)=1-2x+x^2+1-x^2=2-2x=0 =\gt x=1 }[/math]

הבנתי את הבעיה, לא משנה. תודה רבה על כל העזרה!

הגדרת המטריצה המצורפת וטעות אפשרית בשאלה 4

שלום רב,

בתרגול (עם אוהד נבון) ניתנה לנו ההגדרה הגבאה עבור המטריצה המצורפת: [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ij}| }[/math] בעוד שבהרצאה (ד"ר בועז צבאן) ניתנה לנו ההגרה הבאה: [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math]. את שיעורי הבית פתרתי לפי ההגדרה אשר ניתנה בהרצאה, וזו גם ההגדרה אשר מופיעה בכל מקורות המידע בהם חיפשתי (כולל ויקיפדיה). עם זאת ההגדרה בה אני עושה שימוש משפיעה על תוצאות שאלה 4, שכן אם אני עושה שימוש בהגדרה שניתנה בתרגול הטענה שבשאלה אכן תתקיים, בעוד שאם אני עושה שימוש בהגדרה שניתנה בהרצאה יתקיים שהמטריצה המצורפת תהיה משולשית תחתונה ולא עליונה.

מה לעשות? מה היא ההגדרה הנכונה? אציין כי בתרגול לא הצלחנו להוכיח משפטים שהצלחנו להוכיח בהרצאה, ככל הנראה בכלל ההבדלים בהגדרות.

נשמח לתשובה מהירה, שכן גם את שאלה 3 פתרתי עפ"י ההגדרה שניתנה לנו ע"י ד"ר בועז צבאן.

תודה, גל א.

הגדרת המצורפת היא: [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math]. כנראה מה שאוהד התכוון לרשום ברמז זה: את הרכיב ה ij שבעצם עושה שימוש במינור ה ji

ההגדרה עם היפוך האינדקסים היא הנכונה. הרי רוצים ש[math]\displaystyle{ A\cdot AdjA = |A| }[/math] וזה יתקיים רק עבר הAdjA הנכונה. --ארז שיינר 13:24, 30 באוקטובר 2010 (IST)

כלומר שיש טעות בשאלה 4? כי הרי לפי ההגדרה עם היפוך האינדקסים יתקיים שאם [math]\displaystyle{ A }[/math] משולשית עליונה אז [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math] משולשית תחתונה (או לפחות כך קיבלתי) בעוד שאנו נדרשים להוכיח שאם [math]\displaystyle{ A }[/math] משולשית עליונה אז [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math] משולשית עליונה? תודה, גל א.

כנראה שאתה טועה, קח לדוגמא מטריצה משולשית בגודל 2 על 2. ובאופן כללי, כאשר אתה מתחת לאלכסון בגלל היפוך האינדקסים אתה מוחק איברים מעל האלכסון ולכן יש יותר אפסים (בערך, זה לא מדוייק כמובן). --ארז שיינר 14:00, 30 באוקטובר 2010 (IST)

הרמז שניתן לנו היה לחשב את המינור [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ i\gt j }[/math]. נקח את המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & d\end{bmatrix} }[/math] שהיא כמובן משולשית עליונה. נקח את המינור [math]\displaystyle{ A_{21} }[/math] שכמובן עונה על הרמז ונקבל [math]\displaystyle{ |A_{21}|=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{12}=(-1)^3*0=0 }[/math] (עפ"י היפוך אינדקסים) ולכן קיבלנו ש- [math]\displaystyle{ adj(A)=\begin{bmatrix}e & 0 \\ f & g \end{bmatrix} }[/math]. לכן קיבלנו משולשית תחתונה ולא עליונה אבל לפי מה שאמרת גם עבור 2 על 2 נקבל משולשית עליונה. מה אני עושה לא נכון? תודה, גל א.

אולי הייתה טעות ברמז והכוונה היא [math]\displaystyle{ j\gt i }[/math]? כי אז זה יוצא טוב...

[math]\displaystyle{ A_{21} }[/math] כלומר למחוק את שורה 2 ועמודה אחת, זה שווה לb ולא לאפס, זה הכל. --ארז שיינר 14:49, 30 באוקטובר 2010 (IST)

איך לא שמתי לב לטעות הבסיסת הזו בעצמי?!? תודה רבה רבה...

היו צריכים לחשב את המינור הAji ולא Aij, יש טעות ברמז (ככה אני פתרתי לפחות)

איך מחשבים ערך עצמי (עזרה בתרגיל 1.6)

צריך בתרגיל 1.6 לחשב ערכים עצמיים של מט' מגודל 3 על 3. אם מנסים לחשב על פי הפולינום האופייני, יוצאת משוואה עם יותר מדי גורמים ועם גורמים ממעלה שלישית, לכן אני מניח שזו לא הדרך לפתור. בשאלה קודמת שלי קיבלתי תשובה שאומרת שאי אפשר לדרג את המטריצה, לכן איך אפשר לחשב את הערכים העצמיים של המטריצה הזאת? תודה רבה!

עדי: מז"א "יוצאת משוואה עם יותר מדי גורמים"? יוצא פולינום ממעלה 3, הדרך לפתור זאת היא למצוא גורם משותף כך שיתקבל פולינום ממעלה ראשונה כפול פולינום ממעלה שניה.

אני לא יודע לגבי השאלה הספציפית, אבל בדר"כ במטריצות 3 על 3 אתם כן צריכים לחשב את הפולינום מדרגה 3 ומצוא את השורשים שלו (או שהוא מתפרק בזמן חישוב הדטרמיננטה, או שמנחשים שורש אחד a ואז עושים חלוקת פולינומים ב (x-a)).

המלצה: תקח את [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] ותפתח את הדטרמיננטה שלה לפי שורה/עמודה. זה די פשוט ונותן משוואה ממעלה שנייה אם אתה עושה בחירה טובה.

הבעיה כאן היא שפיתוח דט' לפי שורה/עמודה זה טוב כשיש אפסים ואז דברים מתאפסים. אבל כאן, בגלל שצריך לחשב את הדט' של המט' הנתונה מינוס למדה I, אין אפסים בכלל.

מי אמר שאין אפסים? בשורה הראשונה אין אפסים שנשארים גם אחרי ההחסרה? גל א.

מה זאת אומרת? יש ביטוי עם למדה..

טוב נראה לי שהבנתי מה הבעייה שלך. הפולינום האופייני הוא [math]\displaystyle{ |A-\lambda I|=|A-\begin{bmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{bmatrix}| }[/math] בניגוד ל [math]\displaystyle{ |A-\begin{bmatrix}\lambda & \lambda \\ \lambda & \lambda\end{bmatrix}| }[/math] --ארז שיינר 20:29, 30 באוקטובר 2010 (IST)

אה זאת גם הבעיה שלי בשאלה השנייה!! תודה רבה!!

(תשובה גם לעדי-) יוצא, גם בפיתוח דט' רגיל וגם בפיתוח לפי עמודה, [math]\displaystyle{ -x^3+4x^2-5x+2=0 }[/math]. אפשר למצוא לזה מכנה משותף??

אפשר בקלות לראות שאחד הושרשים הוא [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] ואז עושים חילוק פולינומים כפי שלמדנו בתיכון לקראת הבגרות. גל א.

אני לא יודע איפה למדת בתיכון אבל אני לא למדתי את זה לקראת הבגרות... תודה רבה על העזרה

עדי: זה לא רלוונטי איפה למדתם בתיכון כי בכל מקרה זאת שאלה לגיטימית לחלוטין.

כן, ניתן למצוא גורם משותף:

[math]\displaystyle{ -x^3+4x^2-5x+2=-x^3+x^2+3x^2-3x-2x+2=-x^2(x-1)+3x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(-x^2+3x-2)=0 }[/math]

שכאמור ידוע לנו כיצד לפתור.

כלומר, פירקנו את המונומים באופן כזה שנוכל להוציא גורם משותף. ניתן כמובן גם ע"י ניחוש שורש ראשון כפי שגל הציע/ה.

לומדים את זה בקטע של אינטרגלים... לא משנה, הנה דרך נוספת לפתור את זה: [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] פותר את המשוואה ולכן [math]\displaystyle{ x-1 }[/math] גורם בה. נקבל ש: [math]\displaystyle{ -x^3+4x^2-5x+2=(ax^2+bx+c)(x-1)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c }[/math] כעת אפשר לחשב מהם הפרמטרים השונים ותקבל משוואה מהסוג: [math]\displaystyle{ (ax^2+bx+c)(x-1)=0 }[/math] אותה אתה יודע לפתור. מקווה שעזרתי! גל א.