אורך עקומה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע [math]\displaystyle{ P=\{x_0,\ldots,x_n\} }[/math], הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

[math]\displaystyle{ \begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align} }[/math]

כאשר הנקודות [math]\displaystyle{ c_k }[/math] מקיימות [math]\displaystyle{ \forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k) }[/math] . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה [math]\displaystyle{ \sqrt{1+f'(x)^2} }[/math] . כיון שנתון כי [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] רציפה, גם [math]\displaystyle{ \sqrt{1+f'(x)^2} }[/math] רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx }[/math] וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.