המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] יש-תת סדרה מתכנסת.

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math])

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:

[math]\displaystyle{ b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!} }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math] ולכן הטור מתבדר לחלוטין.

ב

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי

[math]\displaystyle{ \dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1 }[/math]

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):

[math]\displaystyle{ \dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)} }[/math]

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}\lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.

א

[math]\displaystyle{ e^{-\frac1{x^3}} }[/math]

נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו [math]\displaystyle{ \infty }[/math] ולכן זה מין שני.

ב

[math]\displaystyle{ \frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|} }[/math]

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר [math]\displaystyle{ \sin(x^2) }[/math] חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{\pi k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\ge0 }[/math] . פרט ל-0, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).

ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.

ג

[math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=|x^2-1| }[/math]

נחלק לתחומים. בתחום [math]\displaystyle{ x\gt 1\ ,\ x\lt -1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=2x }[/math] .

בתחום [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=1-x^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=-2x }[/math] .

קל אפוא לראות שבנקודות [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

[math]\displaystyle{ x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] .

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0 }[/math] אפס כפול חסומה

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0 }[/math]

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

[math]\displaystyle{ \dfrac1{1+\ln(x)} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] .

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה [math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math] שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

[math]\displaystyle{ \sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-\infty,\infty) }[/math] .

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: [math]\displaystyle{ \sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x }[/math] ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h=g^{-1}\circ f^{-1} }[/math] ב- [math]\displaystyle{ x_0=2 }[/math] .

הקירוב הלינארי של [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] באזור הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] , הנו [math]\displaystyle{ h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0) }[/math]

במקרה שלנו

[math]\displaystyle{ h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]= \frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)} }[/math]

ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ h(x)=7-\frac{x-2}{7} }[/math]

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] . נניח שקיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ g(x)\gt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math] . הוכח שהפונקציה [math]\displaystyle{ \dfrac1g }[/math] רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] .

הוכחה

לפי הנתון, לכל [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|\lt \alpha\cdot\varepsilon^2 }[/math] .

לכן, מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|\lt \dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha }[/math]

כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

שאלה 6

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- [math]\displaystyle{ f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math] . עוד נניח שלכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\ne 0 }[/math] . הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] .

הוכחה

מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה [math]\displaystyle{ \dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt x }[/math] .

מכיון ש- [math]\displaystyle{ f^{(5)}(0)\gt 0 }[/math] והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה [math]\displaystyle{ f^{(5)}\gt 0 }[/math] . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5\gt 0 }[/math] .

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ f(x)\le0 }[/math] אזי לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] כלשהוא. אבל גם [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.