88-132 סמסטר א' תשעא

88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1

קישורים

דף שאלות ותשובות

תרגילים

הודעות

הגדרת limsup ,liminf

תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math].

נגדיר סדרה [math]\displaystyle{ \{b_n\} }[/math] באופן הבא: [math]\displaystyle{ b_n=sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\} }[/math],

אזי [math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=inf\{b_1,b_2,b_3,...\} }[/math]

נגדיר סדרה [math]\displaystyle{ \{c_n\} }[/math] באופן הבא: [math]\displaystyle{ c_n=inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\} }[/math],

אזי [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n=sup\{c_1,c_2,c_3,...\} }[/math]

במילים, אנחנו מחפשים את החסמים העליונים והתחתונים של הסדרה, שנשמרים לאורך הסדרה ולא נקבעים על ידי מספר סופי של איברים, לכן אנו מסתכלים על החסם של קבוצת חסמי הסדרה אחרי השמטת n איברים הראשונים.

סדרות מונוטוניות

על מנת להוכיח שסדרה היא מונוטונית עולה, מספיק להוכיח את אחד התנאים הבאים (לכל n):

• [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1 }[/math]

שני התנאים גוררים את אי השיוויון [math]\displaystyle{ a_{n+1}\gt a_n }[/math]

גבול של סדרה

תהי סדרת מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ \{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,... }[/math], (כך ש [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,...\in\mathbb{R} }[/math]).

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \{\frac{1}{2^n}\}_1^{\infty}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},... }[/math]

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,0,... }[/math] (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

הגדרת הגבול

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math] נקרא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ 0\lt \epsilon\in\mathbb{R} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math].

הסבר ההגדרה

נתרגם את זה למילים. למדנו ש[math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] מודד אורך, מספר טבעי [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] מסמל מקום בסדרה, וערך מוחלט של הפרש מודד מרחק בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

אם לכל אורך ([math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]) [סיר]

קיים מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math]) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] ([math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]) [מתאים לו]

הגדרות

חובה לדעת את ההגדרות באופן מדוייק במהלך כל השנה. הגדרות כמו חסם מלעיל, חסם עליון, שדה שלם וכדומה. אתם גם עשויים להבחן על הגדרות אלו.

ידיעה של ההגדרות מקלה פי כמה על הבנת ההוכחות והמושגים החדשים שנלמדים בקורס, שכן מושגים, משפטים והוכחות נשענים על החומר שקדם להם.

הגשת תרגילים

הגשת תרגילים תתבצע כך:

• דפים משודכים עם שדכן בצד ימין למעלה. (ללא ניילוניות!).
• על העמוד הראשי יש לציין: שם המגיש, תעודת זהות, שם המתרגל.
• את התרגיל יש להגיש כל שבוע למתרגל בעת השיעור (החל משבוע הבא - בו תגישו את התרגיל הראשון).
• אין להשאיר תרגילים בתא המתרגל (אלא לפי אישור מפורש במקרים חריגים).

ידע נדרש

ברוכים הבאים לקורס אינפי !!!!1

על מנת להצליח בקורס, אתם נדרשים (בין היתר) לדעת היטב את הנושאים הבאים:

• טריגונומטריה (קוסינוסים, סינוסים וכדומה, מתי הפונקציות הטריגונומטריות מתאפסות, מתי מגיעות למקס/מינ, נוסחאות טריגונומטריות, רדיאנים...)
• לוגים
• אינדוקציה