תרגול 10 תשעז

יחסי שקילות

הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא

1. רפלקסיבי
2. סימטרי
3. טרנזיטיבי

סימון מקובל:

אם R יחס שקילות מסמנים גם [math]\displaystyle{ x \sim y }[/math] עבור [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math]

וכן נסמן [math]\displaystyle{ (A,\sim) }[/math] את הקבוצה עם יחס השקילות

דוגמא נוספת:

נגדיר יחס שקילות R על [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ 3|(x-y) \Leftrightarrow xRy }[/math]

טענה: R אכן יחס שקילות

הוכחה:

1. רפלקסיביות - נניח [math]\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{Z}:3|0=x-x }[/math] לכן [math]\displaystyle{ xRx }[/math]

2. סימטריות - נניח [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ 3|(x-y) }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ 3|(y-x)=-(x-y) }[/math]

3. טרנזיטיביות - נניח [math]\displaystyle{ [(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ 3|(x-y)\and 3|(y-z) }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ 3|(z-x)=(z-y)+(y-x) }[/math]

הגדרה: תהא A קבוצה. חלוקה של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] כך ש:

• [math]\displaystyle{ \forall i\in I: A_i \neq \emptyset }[/math]
• [math]\displaystyle{ \cup _{i\in I} A_i =A }[/math] כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
• הקבוצות [math]\displaystyle{ A_i }[/math] הן זרות זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק ([math]\displaystyle{ \forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi }[/math])

הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

1. לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מוגדרת מחלקת השקילות של x להיות [math]\displaystyle{ \bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} }[/math]
2. קבוצת המנה מוגדרת [math]\displaystyle{ A/R := \{ [x]_R | x\in A\} }[/math]

למשל, בדוגמא הראשונה [math]\displaystyle{ A_1,A_2,A_3 }[/math] הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא [math]\displaystyle{ A/R=\{A_1,A_2,A_3\} }[/math]

בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא [math]\displaystyle{ [0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \} }[/math] וקבוצת המנה היא [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\} }[/math] (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי

1. לכל [math]\displaystyle{ x,y\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [x]=[y] }[/math] או [math]\displaystyle{ [x]\cap [y] =\phi }[/math] (כלומר מחלקות השקילות זרות)
2. [math]\displaystyle{ A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x] }[/math] כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)

הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה: תהא A קבוצה אזי יש התאמה {[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות על A } [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.