פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 1
תרגיל 1
1.7
הפולינום האופייני הינו
אבל זה ביטוי שתמיד גדול מאפס ולכן לא קיים שמאפס את הפולינום האופייני. כלומר לא קיימים ערכים עצמיים.
1.9
תוצאת המכפלה היא וקטור שהעמודה הi שלו היא סכום השורה הi של B. השורות של הינן העמודות של ולכן כי הרי סכום כל עמודה של הוא אחד. לכן הוקטור העצמי הוא והערך העצמי הוא
1.15
- א. ניליפוטנטית מסדר לכן וגם . נניח ע"ע של . לכן עבור איזה . נכפול ב לקבל אבל לכן . אפס חייב להיות ערך עצמי של מכיוון שאפס הוא ע"ע של כל מטריצה לא הפיכה (ובוודאי ניליפוטנטית לא הפיכה). בסיכום, 0 ע"ע של והוא יחיד.
- ב. הפיכה אם"ם אם"ם לא ע"ע של אם"ם (לפי א') .
- ג.
2.5
- א. עמודות מהוות בסיס ולכן בת"ל ולכן הפיכה.
- ב. .
.
.
אבל עמודות הן וקטורים עצמיים של . לכן
בסיכום:
ובמילים, אלכסונית
2.7
א.
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של :
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של . המרחב העצמי של שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית . בסיס למרחב הפתרונות של הינו ובסיס למרחב הפתרונות של הינו .
חישבנו בסיסים של המרחבים העצמיים, סכום מימדי הבסיסים הינו 3 ולכן יש בסיס למרחב כולו המורכב מוקטורים עצמיים של :
נשים את וקטורי הבסיס הזה בעמודות לקבל את המטריצה
ועל מנת ללכסן את המטריצה אנחנו צריכים לבצע את הכפל הבא: לקבל -
ב.