תרגול 9 תשעז

חזרה לדף מערכי התרגול.

יחסי סדר

הגדרה: יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] על קבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא יחס סדר חלקי אם [math]\displaystyle{ R }[/math] רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:

• היחס 'קטן-שווה' על המספרים השלמים
• היחס 'מוכל-שווה' על קבוצת החזקה [math]\displaystyle{ P(\{4,5,100\}) }[/math]
• היחס 'מחלק את' על הטבעיים

הערה: עבור [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה ויחס סדר חלקי [math]\displaystyle{ \leq }[/math] עליה, נסמן [math]\displaystyle{ (A,\leq ) }[/math] את הקבוצה עם היחס.

הגדרה: דיאגרמת הסה (או תרשים הסה, Hasse diagram) הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר [math]\displaystyle{ x }[/math] מחובר בקשת לאיבר [math]\displaystyle{ y }[/math] מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס (כלומר [math]\displaystyle{ x\gt y }[/math]), ובינם אין עוד איברים (כלומר אין [math]\displaystyle{ z }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ x\gt z\gt y }[/math]). נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\} }[/math].

הגדרות: יהיו [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה ו-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי על הקבוצה:

• איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מינימלי ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x }[/math]. כלומר, אין איבר 'קטן' מ-[math]\displaystyle{ x }[/math]. לא חייב להתקיים ש-[math]\displaystyle{ x }[/math] ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
• איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מקסימלי ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x }[/math]. כלומר, אין איבר 'גדול' מ-[math]\displaystyle{ x }[/math]. לא חייב להתקיים ש-[math]\displaystyle{ x }[/math] ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
• איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא קטן ביותר ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(x,y)\in R }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ x }[/math] 'קטן' מכל האיברים. [math]\displaystyle{ x }[/math] חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה.
• איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא גדול ביותר ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(y,x)\in R }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ x }[/math] 'גדול' מכל האיברים. [math]\displaystyle{ x }[/math] חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה [math]\displaystyle{ B }[/math] תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של [math]\displaystyle{ B }[/math].

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר קטן ביותר הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר גם לגבי איבר גדול ביותר.

הערה: קטן ביותר גורר מינימלי, וכן גדול ביותר גורר מקסימלי. אבל לא להיפך!

צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{1,2,...,10\} }[/math] מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר? צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?

תרגיל

תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. מצא את הקבוצה [math]\displaystyle{ \{ R\subseteq A\times A:R\text{ an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal and minimal} \} }[/math]

פתרון

נראה שיש רק יחס אחד כזה, והוא הזהות. יחס הזהות אכן מקיים את התנאי. נניח ש-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר המקיים את התנאי ונראה ש-[math]\displaystyle{ R=I_A }[/math]:

כיוון ראשון: כל יחס סדר [math]\displaystyle{ R }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ I_A\subseteq R }[/math].

כיוון שני: יהי [math]\displaystyle{ (a,b) \in R }[/math], אזי כיון ש-[math]\displaystyle{ a }[/math] מקסימלי נובע [math]\displaystyle{ b=a }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (a,b)=(a,a) \in I_A }[/math] כדרוש.

תרגיל

הוכח שאם [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי, אז גם היחס ההופכי שלו [math]\displaystyle{ R^{-1} }[/math] יחס סדר חלקי.

פתרון

• רפלקסיביות: לכל איבר [math]\displaystyle{ a }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a,a)\in R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (a,a)\in R^{-1} }[/math].
• טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y),(y,z)\in R^{-1} }[/math] לכן מתקיים [math]\displaystyle{ (y,x),(z,y)\in R }[/math] לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים [math]\displaystyle{ (z,x)\in R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (x,z)\in R^{-1} }[/math].
• אנטי-סימטריות: אם [math]\displaystyle{ x }[/math] ביחס ל-[math]\displaystyle{ y }[/math] וגם [math]\displaystyle{ y }[/math] ביחס ל-[math]\displaystyle{ x }[/math] הדבר נכון באופן זהה ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן [math]\displaystyle{ x=y }[/math].

חסמים

הגדרות. יהיו [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה, [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math] תת קבוצה המוכלת בה ו-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי:

• חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math] הוא איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall y\in B:(y,x)\in R }[/math]
• חסם מלרע של B הוא איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall y\in B:(x,y)\in R }[/math]
• החסם העליון (סופרמום) של [math]\displaystyle{ B }[/math] הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן [math]\displaystyle{ \mathrm{sup}(B) }[/math]
• החסם התחתון (אינפימום) של [math]\displaystyle{ B }[/math] הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן [math]\displaystyle{ \mathrm{inf}(B) }[/math]

דוגמאות

דוגמה: עבור [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא [math]\displaystyle{ \bigcup _{i\in I} A_i }[/math].

דוגמה: נביט בקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3,4,5\} }[/math] ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

[math]\displaystyle{ R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),\\(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\} }[/math]

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד [math]\displaystyle{ B=\{1,3,5\} }[/math]. קבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math] הינה [math]\displaystyle{ \{2,4\} }[/math]. המינימום של קבוצה זו הוא [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ולכן הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ B }[/math]. אין חסם מלרע ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

הגדרה. יהי [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי על [math]\displaystyle{ A }[/math]. אם לכל שני איברים [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ R }[/math] נקרא יחס סדר מלא.

למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא. שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.