תרגול 12 תשעז

מתוך Math-Wiki
הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

חזרה לדף מערכי התרגול.

הגדרות בסיסיות לפונקציות

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ A,B }[/math] קבוצות ו-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס בינהן. אזי:

  • התחום של R הינו [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \} }[/math]
  • התמונה של R הינה [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \} }[/math]

הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B }[/math].

דוגמה:

  • [math]\displaystyle{ R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\} }[/math] אזי התחום הוא [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\} }[/math] והתמונה הינה [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(R)=\{1,a,b\} }[/math].

הגדרה:

  • יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] נקרא על אם [math]\displaystyle{ \forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(R)=B }[/math].
  • יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] נקרא מלא אם [math]\displaystyle{ \forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)=A }[/math]
  • יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] נקרא חד ערכי אם [math]\displaystyle{ [(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b) }[/math] כלומר אין איבר מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] שמתאים לשני איברים שונים מ-[math]\displaystyle{ B }[/math].


הגדרה:

יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה [math]\displaystyle{ (a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a) }[/math]. ובאופן כללי [math]\displaystyle{ f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a) }[/math]. ([math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] נקרא הטווח של הפונקציה.)

פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

כלומר:

[math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אמ"מ [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 }[/math] אמ"מ [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) }[/math].


הגדרה:

תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה [math]\displaystyle{ f:A \to A }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ \forall a\in A: f(a)=a }[/math]. נהוג לסמנה [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_A }[/math]. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

דוגמאות

באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.

  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(p)=p^2 }[/math] חח"ע ואינה על.
  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(p)=p^2 }[/math] אינה חח"ע ואינה על.
  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=x-1 }[/math] לא מוגדרת כי [math]\displaystyle{ f(1)=? }[/math].
  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=x-1 }[/math] חח"ע ועל.
  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=x-1 }[/math] חח"ע ועל.
  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=x-1 }[/math] חח"ע ואינה על.
  • תהא פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] אזי [math]\displaystyle{ g:A\to \mathrm{im}(f) }[/math] המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] לפי [math]\displaystyle{ g(a)=f(a) }[/math] היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של [math]\displaystyle{ g }[/math] להיות התמונה של [math]\displaystyle{ f }[/math]).
  • תהא [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ i : A\to B }[/math] המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] לפי [math]\displaystyle{ i(a)=a }[/math] נקראת פונקציה ההכלה (אם [math]\displaystyle{ A=B }[/math] זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.

תרגיל

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} }[/math] פונקציות כך ש-[math]\displaystyle{ f(n)=g(3n-1) }[/math].

הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] על, אז [math]\displaystyle{ g }[/math] לא חח"ע.

פתרון

נסמן [math]\displaystyle{ g(1)=k }[/math] כיון ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] על אזי קיים [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(n)=k }[/math]. מהנתון נקבל ש-[math]\displaystyle{ g(3n-1)=k }[/math]. כעת, כיון ש- [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] אזי ברור ש-[math]\displaystyle{ 1\neq 3n-1 }[/math], ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן [math]\displaystyle{ g }[/math] לא חח"ע.

תרגיל

נסמן ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N}^{\mathbb{N}} }[/math] את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.

נתבונן בפונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ f(g)=(g(1),g(2)) }[/math] האם היא חח"ע? האם היא על?

פתרון

הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.

היא כן על: לכל זוג סדור [math]\displaystyle{ (n,m) }[/math] הפונקציה ששולחת את 1 ל-[math]\displaystyle{ n }[/math], ואת 2 ל-[math]\displaystyle{ m }[/math], היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] הינה על אם"ם היא חח"ע.

הוכחה: נסמן [math]\displaystyle{ f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} }[/math] . כאשר כל האיברים ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] שונים זה מזה וכנ"ל ב-[math]\displaystyle{ B }[/math].

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אזי [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|=n }[/math] כיוון ש-[math]\displaystyle{ \{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B }[/math] ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] על.

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] על. נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חח"ע אזי [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|\lt n }[/math] (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה על, שזו סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.

תרגיל

תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:P(A)\rightarrow P(P(A)) }[/math] ע"י: [math]\displaystyle{ f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\} }[/math] האם היא חח"ע? על?

פתרון

חח"ע: כן. תהיינה [math]\displaystyle{ X,Y\in P(A), X\neq Y }[/math] אם [math]\displaystyle{ X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ X\in f(X)\setminus f(Y) }[/math]. אחרת [math]\displaystyle{ Y\in f(Y)\setminus f(X) }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ f(X)\neq f(Y) }[/math].

על: לא. נבחר [math]\displaystyle{ A=\{1,\dots,7\} }[/math]. למשל לקבוצה [math]\displaystyle{ \{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A)) }[/math] אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.

הרכבת פונקציות והפיכות

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ f:A\to B, g:B\to C }[/math] שתי פונקציות אזי ההרכבה של [math]\displaystyle{ g }[/math] על [math]\displaystyle{ f }[/math] היא פונקציה [math]\displaystyle{ g \circ f:A\to C }[/math] המוגדרת על ידי הכלל [math]\displaystyle{ g \circ f(a)=g(f(a)) }[/math].

הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

משפט:

  • אם [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] חח"ע אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע.
  • אם [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] על אזי [math]\displaystyle{ g }[/math] על.
  • מסקנה: אם [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] חח"ע ועל אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ו-[math]\displaystyle{ g }[/math] על.

תכונות של הרכבת פונקציות:

  1. הרכבה היא קיבוצית. כלומר [math]\displaystyle{ f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 }[/math].
  2. הרכבה אינה (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי [math]\displaystyle{ f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1 }[/math]. למשל לפונקציות מעל הטבעיים [math]\displaystyle{ f(x) =x^2 , g(x) = x+1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\circ g \neq g \circ f }[/math].
  3. לכל פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f\circ \mathrm{id} =f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \mathrm{id} \circ f =f }[/math]. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.

פונקציות הפיכות

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math]. פונקציה [math]\displaystyle{ g:B\rightarrow A }[/math] תקרא הפונקציה ההופכית ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] אם [math]\displaystyle{ f\circ g = \mathrm{id}_B }[/math] וגם [math]\displaystyle{ g\circ f = \mathrm{id}_A }[/math]. במקרה זה נסמן את [math]\displaystyle{ g }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math], ונאמר שהפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] היא הפיכה.

שימו לב שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הפיכה, אז גם [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] היא פונקציה הפיכה, ומתקיים [math]\displaystyle{ (f^{-1})^{-1}=f }[/math].

תרגיל

(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.

פתרון

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה, אזי [math]\displaystyle{ f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A }[/math]. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ועל לפי משפט קודם.

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ועל, אז נגדיר [math]\displaystyle{ g:B\to A }[/math] ע"י: עבור [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים (כי [math]\displaystyle{ f }[/math] על) [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] יחיד (כי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע) כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=b }[/math] . נגדיר [math]\displaystyle{ g(b):=a }[/math]. תרגיל: בדקו כי [math]\displaystyle{ g }[/math] היא ההופכית של [math]\displaystyle{ f }[/math].

דוגמאות

  1. פונקציות [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] המוגדרות לפי:
    1. [math]\displaystyle{ f(x)=x+1 }[/math] הפיכה וההופכית היא [math]\displaystyle{ f^{-1}(x) = x-1 }[/math].
    2. [math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math] הפיכה וההופכית היא [math]\displaystyle{ f^{-1}(x) = x^{1/3} }[/math].
    3. [math]\displaystyle{ f(x)=\sin (x) }[/math] אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל [math]\displaystyle{ \sin(0) =\sin(2\pi k) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{Z} }[/math].
  2. תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. פונקציות [math]\displaystyle{ f:P(A)\to P(A) }[/math] המוגדרות לפי:
    1. [math]\displaystyle{ f(B)= B^c }[/math] הפיכה וההופכית היא [math]\displaystyle{ f^{-1}(B) = B^c }[/math].
    2. תהא [math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] תת קבוצה. [math]\displaystyle{ f(B)= B \triangle C }[/math] הפיכה וההופכית היא [math]\displaystyle{ f^{-1}(B) = B \triangle C }[/math].
  3. תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)

להגדיר [math]\displaystyle{ f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\} }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ f(R)=A/R }[/math] והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ f_1,\dots f_k:A\to A }[/math] שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה [math]\displaystyle{ f_k \circ \dots \circ f_1 }[/math] הפיכה\חח"ע\על.

פתרון

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה.

חח"ע: נניח [math]\displaystyle{ (f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2) }[/math] אזי מחח"ע של [math]\displaystyle{ f_k }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ (f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2) }[/math] באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math].

על: יהא [math]\displaystyle{ y\in A }[/math] כיוון ש-[math]\displaystyle{ f_k }[/math] על, קיים [math]\displaystyle{ a_k\in A }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f_k(a_k)= y }[/math] באותו אופן קיים [math]\displaystyle{ a_{k-1} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f_{k-1}(a_{k-1})=a_k }[/math] נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ונקבל [math]\displaystyle{ (f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\\ \dots =f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y }[/math]

הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.

תרגיל

הוכיחו כי אם [math]\displaystyle{ g\circ f \circ g =\mathrm{id} }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה.

הוכחה:

הרכבה של פונקציה חח"ע [math]\displaystyle{ (g\circ f) \circ g =\mathrm{id} }[/math] גורר שהפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] הימנית חח"ע.

הרכבה של פונקציה על [math]\displaystyle{ g\circ (f \circ g) =\mathrm{id} }[/math] גורר שהפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] השמאלית על.

קיבלנו ש-[math]\displaystyle{ g }[/math] חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-[math]\displaystyle{ g^{-1} }[/math] מימין ומשמאל ונקבל כי [math]\displaystyle{ f=g^{-1}\circ g^{-1} }[/math] ואז [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.