תרגול 14 תשעח

תרגיל

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ |P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}| }[/math]

פתרון

נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\emptyset\} }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ \{n\}\mapsto \{n+1\},\emptyset \mapsto \{1\} }[/math] וכל B שאינה נקודון ואינה קבוצה ריקה נשלחת לעצמה.

תרגיל

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ |A\times A| = |A^{\{1,2\}}| }[/math]

פתרון: הפונקציה [math]\displaystyle{ F:A^{\{1,2\}}\to A\times A }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ f\mapsto (f(1),f(2)) }[/math] הפיכה.

משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)

אם [math]\displaystyle{ |B|\leq|A| }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |A|\leq|B| }[/math] אז [math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math]

תרגיל

הוכיחו: [math]\displaystyle{ |\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0 }[/math]

פתרון

לפי ק.ש.ב. כי מוכל ברציונאליים ומכיל [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] שברים מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math].

תרגיל

הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה [math]\displaystyle{ [a,b],(a,b),[a,b),(a,b] }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] ממשיים.

פתרון

נראה שכולם שווי עוצמה לקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math].

ראשית נגדיר [math]\displaystyle{ f:(0,1)\rightarrow (a,b) }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ f(x)=a+(b-a)x }[/math] חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.

ט: הקטע [math]\displaystyle{ (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math] בעל עוצמה שווה ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

ה: הפונקציה [math]\displaystyle{ tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R} }[/math] הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.

תרגיל

תהא A קבוצה. הוכח כי [math]\displaystyle{ |A|\leq |P(A)| }[/math]

פתרון: נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ f:A|\to P(A) }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ a \mapsto \{a\} }[/math] היא חח"ע.

תהא A קבוצה. הוכח כי [math]\displaystyle{ |A|\neq |P(A)| }[/math]

פתרון: נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ |A|= |P(A)| }[/math] אזי קיימת [math]\displaystyle{ f: A\to P(A) }[/math] הפיכה, בפרט על. נגדיר [math]\displaystyle{ X=\{a\in A: a\notin f(a)\} }[/math]. זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)=X }[/math]. האם [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי [math]\displaystyle{ x\notin f(x)=x }[/math] סתירה. אם כן אז [math]\displaystyle{ x\in X=f(x) }[/math] אבל לפי הגדרת X מתקיים [math]\displaystyle{ x\notin f(x) }[/math] סתירה. משל/