תרגול 14 תשעח
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
עוצמות
הגדרה. יהיו שתי קבוצות. אזי:
- אם קיימת
חח"ע ועל אז אומרים של-
ול-
יש אותה עוצמה. סימון
.
- אם קיימת
חח"ע אז אומרים כי העוצמה של
קטנה או שווה לזו של
. סימון
.
- אם
וגם
אזי אומרים כי העוצמה של
קטנה ממש מהעוצמה של
. סימון
.
הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת על אזי
.
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נגדיר פונקציה ע"י
וכל
שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה.
הפיכה כי יש לה הופכית: ע"י
וכל
שאינה נקודון נשלחת לעצמה.
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון: הפונקציה המוגדרת
הפיכה.
משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)
אם וגם
אז
.
בהמשך נקצר לק.ש.ב.
תרגיל
הוכיחו: .
פתרון
לפי ק.ש.ב. כי הקבוצה מוכלת ברציונליים ומכילה שברים מהצורה
.
תרגיל
הוכיחו כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה כאשר
ממשיים.
פתרון
נראה שכולם שווי עוצמה לקטע .
ראשית נגדיר ע"י
חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.
טענה: הקטע בעל עוצמה שווה ל-
.
הוכחת הטענה: הפונקציה הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.
תרגיל
תהא קבוצה. הוכיחו כי
.
פתרון: נגדיר את הפונקציה ע"י
והיא חח"ע.
תהא קבוצה. הוכיחו כי
.
פתרון: נניח בשלילה כי אזי קיימת
הפיכה, בפרט על. נגדיר
. זוהי תת קבוצה של
ולכן, מכיוון ש-
על, קיים
כך ש-
. האם
? אם לא, לפי הגדרת
נקבל כי
, סתירה. אם כן אז
אבל לפי הגדרת
מתקיים
סתירה. מש"ל.