תרגיל 4

שימו לב - זה לא פתרון רשמי של ארז, אלא הפתרון שלי לתרגיל. --Ohad Abarbanel 11:48, 8 בדצמבר 2009 (UTC)

שאלה 1

הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית:

[math]\displaystyle{ A=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} & P_{A}(t)=(t-2)^{7}=P_{B}(t) \\ & m_{A}(t)=(t-2)^{3}=m_{B}(t) \\ \end{align} }[/math]

הריבוי הגיאומטרי של 2 בשתי המטריצות הוא 3. המטריצות לא דומות כיוון שצורת הז'ורדן שלהן (הן עצמן) שונות.

שאלה 2

סעיף א'

[math]\displaystyle{ \begin{align} & 1)\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right]\quad 2)\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right]\quad 3)\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right] \\ & 4)\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right]\quad 5)\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right]\quad 6)\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} }[/math]

סעיף ב'

[math]\displaystyle{ \begin{align} & 1)\ m_{A}(t)=(t-2)(t-5) \\ & 2)\ m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-5) \\ & 3)\ m_{A}(t)=(t-2)^{3}(t-5) \\ & 4)\ m_{A}(t)=(t-2)^{3}(t-5)^{2} \\ & 5)\ m_{A}(t)=(t-2)(t-5)^{2} \\ & 6)\ m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-5)^{2} \\ \end{align} }[/math]

סעיף ג'

[math]\displaystyle{ \begin{align} & 1)\ m_{2}=3,\ m_{5}=2 \\ & 2)\ m_{2}=2,\ m_{5}=2 \\ & 3)\ m_{2}=1,\ m_{5}=2 \\ & 4)\ m_{2}=1,\ m_{5}=1 \\ & 5)\ m_{2}=3,\ m_{5}=1 \\ & 6)\ m_{2}=2,\ m_{5}=1 \\ \end{align} }[/math]

שאלה 3

סעיף א'

A משולשית, לכן אברי האלכסון הם הע"ע של A כולל הריבוי האלגברי, לכן [math]\displaystyle{ P_{A}(t)=t^{2}(t-1)^{2} }[/math].

נמצא את הפולינום המינימלי:

נבדוק את [math]\displaystyle{ A(A-I) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\ne 0 }[/math]

נבדוק את [math]\displaystyle{ A(A-I)^{2} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\ne 0 }[/math]

האפשרות היחידה שנותרה היא [math]\displaystyle{ A^{2}(A-I)^{2} }[/math] לכן הפולינום המינימלי הוא [math]\displaystyle{ m_{A}(t)=t^{2}(t-1)^{2} }[/math], לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] }[/math]

סעיף ב'

[math]\displaystyle{ I-A=\left[ \begin{matrix} 0 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] }[/math]

נניח שהפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה הקטנה מ-4, כלומר קיים [math]\displaystyle{ f(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(I-A)=0 }[/math], כלומר:

[math]\displaystyle{ a(I-A)^{3}+b(I-A)^{2}+c(I-A)+dI=0 }[/math]

אם נפתח סוגריים נקבל פולינום ממעלה הקטנה מ-4 המאפס את A, וזוהי סתירה למינימליות של הפולינום המינימלי שמצאנו ב-א', לכן הפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה 4, והאפשרות היחידה היא [math]\displaystyle{ m_{I-A}(t)=t^{2}(t-1)^{2} }[/math], לכן מטריצת הז'ורדן של I-A היא:

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] }[/math]

צורות הז'ורדן של A ושל I-A שוות לכן [math]\displaystyle{ A\sim I-A }[/math].

שאלה 4

נמצא את [math]\displaystyle{ P_{A}(t) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align} & P_{A}(t)=\left| tI-A \right|=\left| \begin{matrix} t-7 & 2 & 6 \\ -6 & t+1 & 6 \\ -3 & 1 & t+2 \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} t-7 & 2 & 6 \\ 1-t & t-1 & 0 \\ -3 & 1 & t+2 \\ \end{matrix} \right|=-(1-t)(2t+4-6)+(t-1)((t-7)(t+2)+18)= \\ & =(t-1)(2t-2)+(t-1)(t^{2}-5t+4)=(t-1)(t^{2}-3t+2)=(t-1)(t-1)(t-2)=(t-1)^{2}(t-2) \\ \end{align} }[/math]

נמצא את [math]\displaystyle{ m_{A}(t) }[/math]:

נבדוק את [math]\displaystyle{ (A-I)(A-2I) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (A-I)(A-2I)=\left[ \begin{matrix} 6 & -2 & -6 \\ 6 & -2 & -6 \\ 3 & -1 & -3 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 5 & -2 & -6 \\ 6 & -3 & -6 \\ 3 & -1 & -4 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] }[/math]

לכן הפולינום המינימלי הוא [math]\displaystyle{ m_{A}(t)=(t-1)(t-2) }[/math].

נבדוק האם [math]\displaystyle{ m_{B}(t)=m_{A}(t)=(t-1)(t-2) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (B-I)(B-2I)=\left[ \begin{matrix} -3 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -6 & -3 & 3 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} -4 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ -6 & -3 & 2 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 3 & 3 & -2 \\ 3 & 3 & -2 \\ 9 & 9 & -6 \\ \end{matrix} \right]\ne 0 }[/math]

מצאנו ש [math]\displaystyle{ m_{A}(t)\ne m_{B}(t) }[/math] לכן בהכרח A לא דומה ל-B.

שאלה 5

חלק ראשון - שאלה 1

סעיף א'

לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה n יש n שורשים מרוכבים, לכן [math]\displaystyle{ P_{A}(t) }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. לפי משפט השילוש קיימת מטריצה B משולשת כך ש [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math], כלומר קיימת מטריצה P הפיכה כך ש [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math], לכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ \left| A \right|=\left| P^{-1}BP \right|=\left| P^{-1} \right|\left| B \right|\left| P \right|=\left| P \right|^{-1}\left| P \right|\left| B \right|=\left| B \right| }[/math]

על אלכסון המטריצה B נמצאים הערכים העצמיים של A, ו-B משולשית לכן [math]\displaystyle{ \left| B \right| }[/math] שווה למכפלת אברי האלכסון שהיא מכפלת הערכים העצמיים של A.

[math]\displaystyle{ \left| A \right|=\left| B \right| }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \left| A \right| }[/math] היא מכפלת הערכים העצמיים של A.

סעיף ב'

נניח בשלילה שקיימת [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{R}^{3\times 3} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ A^{2}=-I_{3} }[/math].

ל-A יש 3 ערכים עצמיים (לא בהכרח שונים). נסמנם [math]\displaystyle{ \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb{R} }[/math].

[math]\displaystyle{ A\in \mathbb{C}^{3\times 3}\Leftarrow \mathbb{R}^{3\times 3}\subset \mathbb{C}^{3\times 3}\Leftarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C} }[/math] לכן לפי א' [math]\displaystyle{ \left| A \right|=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \lambda _{3} }[/math].

לפי ההנחה, [math]\displaystyle{ A^{2}=-I_{3} }[/math], לכן:

[math]\displaystyle{ \left| A^{2} \right|=\left| -I_{3} \right|\Rightarrow \left| A \right|^{2}=(-1)^{3}\left| I_{3} \right|\Rightarrow \lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}=-1 }[/math]

מכיוון ש [math]\displaystyle{ \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb{R} }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \lambda _{1}^{2},\lambda _{2}^{2},\lambda _{3}^{2}\ge 0 }[/math] לכן גם [math]\displaystyle{ \lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}\ge 0 }[/math] וזו סתירה לכך ש [math]\displaystyle{ \lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}=-1 }[/math], לכן לא קיימת [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{R}^{3\times 3} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ A^{2}=-I_{3} }[/math].

חלק שני - שאלה 5

סעיף א'

ריבוי אלגברי של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא המספר הגדול ביותר [math]\displaystyle{ k_{\lambda } }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P_{A}(t)=(t-\lambda )^{k_{\lambda }}g(t) }[/math].

או במילים פשוטות: הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא החזקה של [math]\displaystyle{ t-\lambda }[/math] בפולינום האופייני.

ריבוי גיאומטרי של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \dim(v_{\lambda }) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v_{\lambda }=\left\{ v\in V|Av=\lambda v \right\} }[/math].

או במילים פשוטות: הריבוי הגיאומטרי של[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא מימד המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]

סעיף ב'

נמצא את [math]\displaystyle{ P_{A}(t) }[/math]: [math]\displaystyle{ P_{A}(t)=\left| tI-A \right|=\left| \begin{matrix} t-2 & -2 & 1 \\ 0 & t+1 & -2 \\ 0 & 6 & t-6 \\ \end{matrix} \right|=(t-2)((t+1)(t-6)+12)=(t-2)(t^{2}-5t+6)=(t-2)(t-2)(t-3)=(t-2)^{2}(t-3) }[/math]

נמצא את הפולינום המינימלי:

נבדוק את [math]\displaystyle{ (A-2I)(A-3I) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (A-2I)(A-3I)=\left[ \begin{matrix} 0 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & -6 & 4 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} - & 2 & -1 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & -6 & 3 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\ne 0 }[/math]

האפשרות היחידה שנותרה לפולינום המינימלי היא [math]\displaystyle{ m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-3) }[/math].

לפי משפט בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 2 במטריצת הז'ורדן של A הוא בגודל 2 ובלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 3 הוא 1, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{matrix} \right] }[/math]