אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

כדי להבין פנקציות מהצורה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] צריך להבין מה עושה פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math]. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.

לדוג': [math]\displaystyle{ f(x,y)=\sin(x+y)-x }[/math] ועוד כהנה וכהנה.

במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2ab-ba^2i }[/math], זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: [math]\displaystyle{ U(a,b)=2ab,V(a,b)=-ba^2 }[/math] ואז נקבל: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+V(a,b)i }[/math].

רציפות

הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ z_n\to z_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z_0)|\to 0 }[/math]. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.

משפטים

כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.

משפט חשוב: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b) }[/math] רציפה אם ורק אם [math]\displaystyle{ U,V }[/math] רציפות.

לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.

רציפות של פונקציות בשני משתנים

פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בנק' [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אם לכל זוג סדרות [math]\displaystyle{ x_n\to x_0,y_n\to y_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)|\to 0 }[/math]. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.

תרגיל

האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: [math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{\sin x}{y} & y\neq0\\ 1 & y=0 \end{cases} }[/math]

אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] כדי שכן תהיה רציפה שם?

פתרון

לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות [math]\displaystyle{ x_{n}\to 0,y_{n}\to 0 }[/math] עבורן לא מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0 }[/math]. וזה מה שנעשה כאן:

אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, [math]\displaystyle{ x_{n}=0 }[/math], וניקח למשל [math]\displaystyle{ y_{n}=\frac{1}{n} }[/math], אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא [math]\displaystyle{ f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin0}{\frac{1}{n}}=0 }[/math]). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] נובע שהפונקציה לא רציפה.

הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע [math]\displaystyle{ f(0,0)=0 }[/math] כי אם ניקח את הסדרות [math]\displaystyle{ x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1 }[/math] לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".

תרגיל

האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: [math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{\sin(x\cdot y)}{x} & x\neq0\\ 0 & x=0 \end{cases} }[/math]

פתרון

אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_{n},y_{n} }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0 }[/math]. נראה זאת:

[math]\displaystyle{ |f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|=|\frac{\sin(x_{n}y_{n})}{x_{n}}|=\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|} }[/math]. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ |\sin x|\leq|x| }[/math], ולכן אצלנו נקבל [math]\displaystyle{ |\sin(xy)|\leq|xy| }[/math] ונוכל להמשיך:

[math]\displaystyle{ \frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}\leq\frac{|x_{n}y_{n}|}{|x_{n}|}=\frac{|x_{n}|\cdot|y_{n}|}{|x_{n}|}=|y_{n}|\to 0 }[/math]

רציפות של פונקציות מרוכבות

תרגיל

האם הפונקציות הבאות רציפות בנקודות הנדרשות:

1.[math]\displaystyle{ f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1} }[/math] בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\smallsetminus \{i,-i\} }[/math].

2. [math]\displaystyle{ f(z)=\begin{cases} \frac{3z+\overline{z}}{2z-\overline{z}} & z\neq 0 \\ \frac{2}{10} & z=0 \end{cases} }[/math] ב[math]\displaystyle{ z=0 }[/math].

פתרון

1. כן, פונקציה רציונאלית רציפה כאשר המכנה לא מתאפס.

2. לא! נקבל:

[math]\displaystyle{ f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6a^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i }[/math].

כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות [math]\displaystyle{ a_n=b_n,a_n=-b_n }[/math].

גזירות

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ \triangle z\to 0 }[/math] קיים הגבול [math]\displaystyle{ \underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z} }[/math], ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2a-3bi }[/math] רציפה באפס?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=z^2 }[/math] גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!