אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7

חזרה ל מערכי תרגול.

מהי מד"ר?

מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: [math]\displaystyle{ y+y'-x^2+2=2y'' }[/math]. המטרה היא למצוא פונקציה [math]\displaystyle{ y }[/math] שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה [math]\displaystyle{ y }[/math] המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

מד"ר לינארית מסדר ראשון

מד"ר נקראת לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות [math]\displaystyle{ a(x),b(x) }[/math] ולהביא את המשוואה לצורה: [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=b(x) }[/math]. היא תקרא הומוגנית אם[math]\displaystyle{ b(x)=0 }[/math].

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx }[/math], נכפיל בגורם שונה מאפס [math]\displaystyle{ e^{A(x)} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0 }[/math]. כעת נקבל שאגף שמאל הוא בעצם: [math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0 }[/math], קיבלנו שהגאף שמאל הוא הנגזרת של מה שרשום בתחילת המשוואה האחרונה, ולכן זה שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו [math]\displaystyle{ ye^{A(x)}=c }[/math]

מכאן למסקנה החשובה: [math]\displaystyle{ y=ce^{-A(x)} }[/math]. זה מה שצריך לעשות בפועל!! [math]\displaystyle{ y=e^{c-A(x)}=c'e^{-A(x)} }[/math].