הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

[math]\displaystyle{ c }[/math] הוא קבוע.
[math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות.
הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] .
אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה" = "[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]").
[math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה [math]\displaystyle{ \{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] של הקטע הנתון כך ש- [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math] .

[math]\displaystyle{ Q }[/math] היא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math] .
[math]\displaystyle{ P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} }[/math] היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k }[/math] .

אינטגרלים

אם [math]\displaystyle{ F,G }[/math] קדומות ל- [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה כלשהי אז קיים [math]\displaystyle{ c }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ |Q|=|P|+r }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ Q }[/math] מתקבלת מ- [math]\displaystyle{ P }[/math] ע"י הוספת [math]\displaystyle{ r }[/math] נקודות) ו- [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע אזי [math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] וכן [math]\displaystyle{ 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] .
לכל חלוקה [math]\displaystyle{ Q }[/math] של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math]), אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע אזי [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) }[/math] .
לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מתקיים [math]\displaystyle{ \underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f }[/math] .
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. אזי [math]\displaystyle{ \underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) }[/math] .
נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אם"ם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math] .
נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

הכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה וחסומה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

הכללה להכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
נניח כי [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] , ב- [math]\displaystyle{ [a,c] }[/math] וב- [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] , ואם כן אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math] .

הכללה: עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] כנ"ל ו- [math]\displaystyle{ a=x_0,x_1,\dots,x_n=b }[/math] (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f }[/math] .

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה אז [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) }[/math] . יתר על כן, [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P') }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P') }[/math] .
הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
לינאריות: עבור [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math] .
מונוטוניות: אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g }[/math] .

חיוביות: בפרט מתקיים שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרביליות ואי-שלילית אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge0 }[/math] .

הכללה לאי-שוויון המשולש: אם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ו- [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f| }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית וחסומה אז [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a) }[/math] .

מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M }[/math] ו- [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אז [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a) }[/math] .

מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f(x)=M }[/math] (פונקציה קבועה) אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=M(b-a) }[/math] .

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ותהי [math]\displaystyle{ F }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ F }[/math] רציפה וכן לכל נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b] }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ F }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F'(x_0)=f(x_0) }[/math]).
נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a) }[/math] .
לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה יש פונקציה קדומה.
אינטגרציה בחלקים: נניח כי [math]\displaystyle{ f',g' }[/math] רציפות. אזי [math]\displaystyle{ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx }[/math] .

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g }[/math]

שיטת ההצבה: [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c} }[/math] .

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f }[/math]

כל פונקציה רציונאלית [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \deg(p)\lt \deg(q) }[/math] ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים [math]\displaystyle{ \frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N }[/math] ול- [math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math] אין שורשים ממשיים.
נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] סביב ציר ה- [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b\pi f(x)^2dx }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אז הממוצע שלה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx }[/math] .
שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה סביב ציר ה- [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx }[/math] .
קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת [math]\displaystyle{ n }[/math]-ית רציפה. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ P_n }[/math] הוא פיתוח טיילור מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ f }[/math] והשארית היא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\} }[/math] כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .
קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k) }[/math] והשארית חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{b-a}2Mh }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big| }[/math] .
קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k) }[/math] והשארית חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac5{12}(b-a)Mh^2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f''(x)\big| }[/math] .
קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math] ו-[math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) }[/math] והשגיאה חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{180}Mh^4 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right| }[/math] .
תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g }[/math] .
תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב- [math]\displaystyle{ [b,\infty) }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f }[/math] .
[math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית עולה ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ \sup\limits_{x\gt a}\ f(x)\lt \infty }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x\gt a}\ f(x) }[/math] .
[math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^R f }[/math] חסומים מלעיל, ואם לא אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\infty }[/math] .
מבחן ההשוואה: נניח [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x) }[/math] . אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

המבחן האינטגרלי לטורים: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- [math]\displaystyle{ [k,\infty) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\in\N }[/math] כלשהו. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_k^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=k}^\infty f(n) }[/math] מתכנס.

בפרט מתקיים [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n) }[/math] .

תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] . [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f(x) }[/math] קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ x_0\gt a }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ x_2\gt x_1\gt x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|\lt \varepsilon }[/math] .
תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\gt a:\ \forall x_2\gt x_1\gt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|\lt \varepsilon }[/math] .
תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] . אם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית בקטע אזי גם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בו.
מבחן דיריכלה: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ונניח שהאינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ b\to\infty }[/math] . כמו כן תהא [math]\displaystyle{ g }[/math] מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0 }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f\cdot g }[/math] מתכנס.
סכימה בחלקים: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k }[/math] .
משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^N a_n }[/math] יש סכומים חלקיים חסומים ונניח [math]\displaystyle{ \{b_n\} }[/math] סדרה מונוטונית כך ש-[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math] .
עבור [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] , [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ (a,c] }[/math], ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f }[/math] .
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to a^+}f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a^+ }[/math] .
מבחן ההשוואה: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x) }[/math] . אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} }[/math] . אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a\lt x_1\lt x_2\lt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|\lt \varepsilon }[/math] .
תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] . אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b|f| }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.

סדרות וטורים של פונקציות

התכנסות במ"ש

סדרות

[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|\lt \varepsilon }[/math], אם"ם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0 }[/math].
נניח כי [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-[math]\displaystyle{ I }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] כלשהו [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] אינטגרבילית בקטע. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n }[/math].
[math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n\in\mathbb N} }[/math] היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-[math]\displaystyle{ I }[/math], המתכנסות במ"ש ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] לפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-[math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f=\lim_{n\to\infty} f_n }[/math] מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f'=g }[/math].
סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt m\gt n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|\lt \varepsilon }[/math].
משפט דיני: נתון כי כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה בקטע סגור [math]\displaystyle{ I }[/math] והסדרות [math]\displaystyle{ \{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N} }[/math] עולות לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] או יורדות לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] נקודתית ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש.

טורים

טור פונקציות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt m\gt n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)\lt \varepsilon }[/math].
מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] וחסומה שם, כלומר [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ M_n }[/math] כלשהו, וכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס במובן הצר. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס בהחלט במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math].
נתון כי כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] וכן [math]\displaystyle{ S=\sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ S }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
[math]\displaystyle{ S=\sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ S }[/math] אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f }[/math].
[math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n\in\mathbb N} }[/math] היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-[math]\displaystyle{ I }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות [math]\displaystyle{ s=\sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math] מתכנס במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה [math]\displaystyle{ S }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ S'=s }[/math].

טורי חזקות

יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות. רדיוס ההתכנסות [math]\displaystyle{ R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}} }[/math] מקיים שאם הנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt R }[/math] אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\gt R }[/math] הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [x_0-r,x_0+r] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0\lt r\lt R }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math]. אם קיים [math]\displaystyle{ S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} }[/math] במובן הרחב אזי [math]\displaystyle{ S=R }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] היא פונקציה המוגדרת ב-[math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math], כך שנגזרתה בקטע זה היא [math]\displaystyle{ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1} }[/math].

הכללה: בתנאים הללו, [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה אינסוף פעמים ו-[math]\displaystyle{ f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N\cup\{0\} }[/math]. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא [math]\displaystyle{ R }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N\cup\{0\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} }[/math], ז"א הטור הוא טור טיילור של [math]\displaystyle{ f }[/math] סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math] ומתקיים לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} }[/math]. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ R }[/math].
משפט היחידות לטורי חזקות: אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall n:\ a_n=b_n }[/math].
משפט אבל: נניח ש-[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות בעל רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_nR^n }[/math] קיים אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0+R^-}f(x) }[/math] קיים ושווה לו, ואם [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n }[/math] קיים אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x) }[/math] קיים ושווה לו.

השתנות חסומה

[math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה.
[math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש [math]\displaystyle{ g,h }[/math] מונוטוניות עולות בקטע כך ש-[math]\displaystyle{ f=g-h }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b) }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+} f(x) }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b] }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-} f(x) }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].